Localmente (topologia)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Localmente (matemática))
Ir para: navegação, pesquisa

A expressão localmente, em topologia, é usada para se referir a uma propriedade que vale para todo ponto, em uma região suficientemente próxima.[1]

Mais precisamente, seja X um espaço topológico, então este espaço tem determinada propriedade localmente quando, para todo ponto p \in X\, e toda vizinhança aberta U de p, p \in U \subseteq X\,, existe uma vizinhança V [Nota 1] de p,p \in V \subseteq U\,, em que esta propriedade vale.[1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Um espaço é localmente conexo por arcos em um ponto x quando toda vizinhança U de x contém uma vizinhança V tal que, para todo par de pontos em V, existe um arco contido em V [Nota 2] ligando estes dois pontos. Um espaço é localmente conexo por arcos se ele é localmente conexo por arcos em todos seus pontos.[2]
  • Um sistema de coordenadas [Nota 3] é cartesiano quando ds2 [Nota 4] é representado por uma forma com coeficientes constantes. Nem sempre é possível encontrar estas coordenadas, porém, para todo ponto p é possível encontrar um sistema de coordenadas que se comporta desta forma em uma vizinhança de p. Este sistema é chamado de localmente cartesiano ou localmente geodésico.[4]

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Gamelin e Greene, a vizinhança V deve ser aberta, mas esta restrição não é necessária em geral.
  2. O texto de Lefschetz traz como o arco contido em U; não está errado mas não é a melhor forma de apresentar a propriedade.
  3. Definidos sobre uma variedade de Riemann.
  4. ds2 é a fórmula que representa a distância entre dois pontos "próximos", por exemplo, na superfície de uma esfera, usando coordenadas esféricas, ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 sin^2 \theta d \phi^2\,.

Referências

  1. a b Theodore W. Gamelin, Robert Everist Greene, Introduction to Topology: Second Edition, 7. Locally compact spaces, p.83 [google books]
  2. Solomon Lefschetz, Topics in Topology (1942), IV. Local connectedness and related topics, (1.4) Definition, p.76 [google books]
  3. Garrett Birkhoff, Lattice Theory, Volume 25, Parte 2 (1940), p.223 [google books]
  4. Tullio Levi-Civita, The Absolute Differential Calculus (calculus of Tensors) (1926), Part II, The Fundamental Quadratic Form and the Absolute Differential Calculus, Chapter VI, Covariant differentiation; invariants and differential parameters; locally geodesic co-ordinates, 11. Locally geodesic (or locally Cartesian) co-ordinates, p.164 [google books]