Logaritmo complexo

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Na análise complexa, um logaritmo complexo é uma função inversa da função exponencial complexa, assim como o logaritmo natural real ln x é o inverso da função exponencial real ex. Assim, um logaritmo de um número complexo z é um número complexo w tal que ew = z.[1] A notação para tal w é ln z ou z. Como todo número complexo diferente de zero z possui infinitamente muitos logaritmos[1] é necessário cuidado para dar a essa notação um significado inequívoco.

Se z =re com r> 0 (uma forma polar), então w = ln r + é um logaritmo de z; acrescentando múltiplos inteiros de 2πi dá todos os outros.[1][2][3]

Relação no campo de números complexos[editar | editar código-fonte]

Para números reais, temos a seguinte relação:

Esse relacionamento pode ser usado para estender o logaritmo para o campo complexo:

com a única condição . Este último relatório permite obter uma expressão explícita para . Escrevendo a forma exponencial[4] de

,

segue que

onde é e representa, respectivamente, a parte real e imaginária do desconhecido . Da cadeia de igualdades anterior, seguimos os seguintes relacionamentos que determinam e :

Podemos então escrever

Note que o logaritmo complexo assume valores infinitos, dado que contém todos os números do tipo , com

Por esta razão, não é realmente uma função, mas uma função chamada polidroma.

Referências

  1. a b c Sarason, Section IV.9.
  2. Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable 2nd ed. [S.l.]: Springer 
  3. Lang, Serge (1993). Complex Analysis 3rd ed. [S.l.]: Springer-Verlag 
  4. (em inglês) Lars Ahlfors (1979). Complex Analysis. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 3rd 
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