Logaritmo integral

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Em matemática, a função Li(x) é definida pela integração do inverso multiplicativo do logaritmo clássico:

Esta expressão faz sentido para 0 ≤ x < 1; para valores x > 1, a função é calculada como o limite:



Esta função pode ser inserida também numa série harmônica relacionada com a função Li(x) e em que os valores de x da função logarítmica são partículas de uma serie de raízes:



Em que ;; em suma as frações constituintes da função harmônica clássica , é interessante notar também que esta série harmônica tem uma relação assintótica com a função de Legendre, sendo esta relação permitida pelo produto da serie pela função de Möbius , ou seja:



Em ,μ(n), é a função de Möbius, e a função π(x), é a função de legendre , é pela equação (1) que vemos uma grande relação da função logarítmica com a própria conjetura de riemann , pois a função de legendre é uma integral logarítmica no intervalo [2,x[ somada com uma quantidade que indica que a série de legendre é praticamente uma função , e serve também para descrever a sua respetiva expansão assintótica, esta função pode ser escrita então :



A partir desta expressão podemos concluir que assintoticamente:


........(2)


Agora a partir das duas igualdades assintóticas descritas em (2) podemos elaborar o limite de n a tender para o infinito de modo a obter uma igualdade descoberta por Frederich Gauss, se fizermos a razão das duas equações assintoticas:


Gauss descobriu então uma expressão exata para a função de Legendre,e portanto a função é agora descrita de uma forma de modo a não se utilizar o termo e portanto o resultado por ele descoberto se escreve:



Posto isto , podemos definir esta função como , e que sendo p, um numero primo , e portanto esta função assume uma relação achegada com os números primos , e portanto ela é usada para cálculos relacionando a função zeta de Riemann como por exemplo para descobrir o valor de um importante passo para a analise da função zeta . Quanto á função de Möbius descrita em (1) ela assume uma relação mais direta com a função zeta, dado que (1) :



Agora ,dado um numero complexo sendo podemos ,escrever a função de Möbius em função de um numero complexo ou seja ,esta função se carateriza da seguinte forma:


Posto isto ,podemos obter uma relação elegante:


...(3)


Em que:


E portanto é o termo que relaciona a hipótese de riemann com a função de Möbius. Em suma vimos que a integral logarítmica é útil na teoria dos números e na constituição de funções que se relacionam com a função zeta , uma importante função talvez a principal na hipótese de Riemann.

Luis Ferreira.