Logaritmo natural

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O gráfico do logaritmo natural.

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos , e admite uma extensão como uma função complexa analítica em

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base 1/e e não a base e.

Origem[editar | editar código-fonte]

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno )

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, e para a = 10,

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em [editar | editar código-fonte]

Uma maneira de definir o logaritmo natural:

é através da integral:

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

  • é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:

A primeira parcela desta soma é e segunda parcela pode ser resolvida pela substituição portanto:

segue que

Sabemos então que para alguma base a ser determinada.

Da simples definição temos:

Seja a função inversa de então, usando a fórmula obtemos:

Portanto onde é o número de Euler.

Convenções de notação[editar | editar código-fonte]

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).

Função logarítmica complexa[editar | editar código-fonte]

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa pela equação:

onde é o módulo e é o argumento medido em radianos do número complexo; e define o logaritmo natural real positivo de

Assim, a função é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de o número definido por:

+

Derivada da função logarítmica[editar | editar código-fonte]

Dada a função:

a sua derivada é:

dx/dt

Integral da função logarítmica[editar | editar código-fonte]

Dada a função:

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja:

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