Média metálica

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Médias Metálicas
0:
0 + 42 1
1:
1 + 52 1,618033989[nota 1]
2:
2 + 82 2,414213562[nota 2]
3:
3 + 132 3,302775638[nota 3]
4:
4 + 202 4,236067978[nota 4]
5:
5 + 292 5,192582404[nota 5]
6:
6 + 402 6,162277660[nota 6]
7:
7 + 532 7,140054945[nota 7]
8:
8 + 682 8,123105626[nota 8]
9:
9 + 852 9,109772229[nota 9]
10:
10 + 1042 10,09901951[nota 10]
  ⋮
n:
n + 4 + n22
Símbolo do número de ouro, um dos principais números metálicos.

A média metálica, conhecida também como número metálico (ou com menos frequência, média de prata), é a forma mais simples das frações contínuas representadas [1][2][3] por:

Na qual n é um número natural (em linguagem matemática: ). A proporção áurea (φ = 1,618033989) é a média metálica de 1, bem como a proporção de prata ( = 2,414213562) é a média metálica de 2. Embora não tão comuns, são utilizados também os nomes número de bronze, número de cobre, número de níquel e número de platina para representar as médias metálicas de 3, 4, 5 e 6, respectivamente. O termo "metálico" provém dessa denominação.[4][5][6]

Ao lado, podemos ver uma tabela com os valores dos números metálicos de 0 a 10, com uma precisão de 9 algarismos significativos, além de seus valores na forma de radical.[7][8]

Definição[editar | editar código-fonte]

Cada número metálico pode ser descrito como a solução positiva da Equação do Segundo Grau a seguir: [9]

onde n é um número inteiro positivo qualquer. Esta raiz será a média metálica do número n, descrita por .

Assim, por exemplo, pode-se afirmar com segurança que

é um número metálico pois é solução da equação , o que pode ser facilmente averiguado fazendo uso da Fórmula de Bháskara. Ademais, podemos concluir que se trata do 48º número metálico, ou da média metálica de 48. Este valor é aproximadamente 48,0208243. [10]

Características dos números metálicos notáveis[editar | editar código-fonte]

Razão áurea no pentagrama e razão de prata num octógono.

Assim como o número de ouro tem relação com o pentágono (pela razão ), o número de prata tem relação com o octógono (também pela razão ). A razão áurea está conectada com os Números de Fibonacci, e o número de prata tem uma estreita relação com os Números de Pell. [11] Por propriedades advindas de suas relações com essas sequências, podemos dizer que cada número de Fibonacci é a soma do número anterior multiplicada por 1 adicionado do número antes desse,e cada número de Pell é a soma do número anterior multiplicada por 2 adicionado do número antes desse. A razão entre dois números de Fibonacci consecutivos converge para a razão áurea, bem como a razão entre dois números de Pell consecutivos converge para a razão de prata. [12]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de ouro, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de ouro; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de prata, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de prata; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de bronze, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de bronze.
Razões de ouro, prata e bronze e seus respectivos retângulos.

As propriedades são válidas apenas para números inteiros m, para números não-inteiros as propriedades são similares mas são sutilmente diferentes em alguns quesitos. [13] [14][15][16] A propriedade para potências do número de prata são consequências das propriedades das potências dos números metálicos. Para o número metálico S de m, essa propriedade pode ser descrita como uma recorrência linear de segunda ordem, possibilitando ser generalizada como

onde

Utilizando as condições iniciais K0 = 1 e K1 = m, essa relação de recorrência se transforma em

As potências dos números metálicos também possuem outras propriedades interessantes:[17][18]


Se n é um número inteiro positivo:

Além disso,

Um triângulo de ouro. A razão a:b é equivalente ao número de ouro φ. Num triângulo de prata ele é equivalente a δS.

Tem-se também que:

Generalizando:

O número metálicoS de m também tem a propriedade seguinte:

O que significa que o inverso de um número metálico tem a mesma parte decimal de seu correspondente número metálico. Matematicamente, temos:

Para facilitar o desenvolvimento do raciocínio, seja e . Então, a propriedade seguinte pe verdadeira:[19]

Isso ocorre porque para todo m maior que 0 (), a parte inteira de Sm = m, a = m. Para m > 1, temos então:

Portanto (), concluímos que a média metálica de m é solução da equação

Também é importante e útil perceber que o número metálico S de −m é o inverso do número metálico S de m. Matematicamente:

Outro resultado interessante pode ser obtido mudando ligeiramente a fórmula do número metálico. Se considerarmos o número

segue que as seguintes propriedades também são verdadeiras:

de c é real (),
se c é um número complexo () com parte real nula, ou seja na forma c = ki, para todo k inteiro positivo ().

O número metálico de m também pode ser obtido a partir da integral [20] [21]


Representações[editar | editar código-fonte]

Além da forma clássica de apresentação, as médias metálicas podem ser representadas de outros modos. De forma alternativa, pode-se dizer utilizando os radicais contínuos de Ramanujan (descritos pelo matemático indiano Ramanujan) que o número metálico S de m é dado por

Podemos representar as médias metálicas da seguinte maneira: [22]

Número de Ouro (φ)[editar | editar código-fonte]

:


Número de Prata[editar | editar código-fonte]

Número de Bronze[editar | editar código-fonte]


Número de Cobre[editar | editar código-fonte]


Número de Níquel[editar | editar código-fonte]


Número de Platina[editar | editar código-fonte]

Os números metálicos também podem ser representados utilizando fração contínua e sua representação na forma reduzida.[23]

Números metálicos na Geometria[editar | editar código-fonte]

Poliedros[editar | editar código-fonte]

Retângulos de ouro num icosaedro

Os números metálicos têm grande importância em diversas construções geométricas. Na Geometria Espacial, por exemplo, pode-se perceber diversas propriedades relacionadas a esses números. Para ilustrar isso, podemos citar o caso da presença de retângulos de ouro no 5º Poliedro de Platão (Icosaedro - poliedro regular que é composto por 20 faces triangulares idênticas).

Espiral de ouro[editar | editar código-fonte]

A espiral de ouro é uma espiral logarítmica cujo fator de crescimento b está relacionado a φ, a média metálica de 1. Mais especificamente, a espiral de ouro fica mais larga (cada vez mais a partir de sua origem) para um fator de &phi a cada quarto de volta que ela dá. A equação polar para a espiral de ouro é a mesma d outras espirais logarítmicas, mas como o valor especial de b: [24]

ou

sendo e a base do logaritmo natural (também chamado de logaritmo neperiano em homenagem a John Napier), a uma constante real positiva arbitrária e b tal que θ seja um ângulo reto (perpendicular, formando 90°), o que descreve um quarto de volta em qualquer direção: [25]

Portanto, b é dado por

O valor numérico de b depende se o ângulo reto está descrito em graus (como 90°) ou em radianos (como π/2). Uma vez que o ângulo pode estar em qualquer direção, é absolutamente fácil deduzir a fórmula para o valor absoluto de b (isto é, b também pode ser o negativo deste valor):

Representação da espiral de ouro.
para θ em graus;
para θ em radianos.

onde a constante c é dada por:

Para o qual a espiral de ouro nos dá esses valores para c':

e

Áreas de figuras planas[editar | editar código-fonte]

Os números metálicos também tem uma curiosa é íntima relação com as áreas de polígonos convexos regulares. [26]

Pentágono Regular[editar | editar código-fonte]

Star polygon 5-1.svg

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 1 (no caso, o número de ouro). Temos:


Sendo A a área do pentágono.

Octógono Regular[editar | editar código-fonte]

Star polygon 8-1.svg

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 2 (no caso, o número de prata). Temos: [27][28]


Sendo A a área do octógono.

Números metálicos na Trigonometria[editar | editar código-fonte]

Os números metálicos também estão presentes em diversos valores utilizados nas principais relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Podemos citar os seguintes valores trigonométricos:[29][30]

Notas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Vera de Spinadel (1999). The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) do Instituto de Matemática da Academia de Artes e Ciências da Sérvia
  2. Eric W. Weisstein, Table of Silver means em MathWorld
  3. "An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means", Maths.Surrey.ac.UK.
  4. Vera W. de Spinadel, "The Metallic Means and Design", pp. 141–157 in Nexus II: Architecture and Mathematics, ed. Kim Williams, Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba, 1998.
  5. Constantes PHI, PI e E
  6. Universidad de Buenos Aires - El número metálico
  7. OEIS
  8. Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science, p. 228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832
  9. Números irracionais
  10. Wolfram Alpha
  11. S. Douady and Y. Couder (1996). «Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process» (PDF). Journal of Theoretical Biology. 178 (178): 255–274. doi:10.1006/jtbi.1996.0026 
  12. História da matemática
  13. Números metálicos
  14. Vera W. de Spinadel, "The Metallic Means and Design", pp. 141–157 in Nexus II: Architecture and Mathematics, ed. Kim Williams, Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba, 1998.
  15. H. E. Huntley, The Divine Proportion - A study in mathematical beauty, Dover Publications Inc., New York, 1970.
  16. Ian Stewart, Las esculturas de Alan St. George, Investigación y Ciencia, July 1996.
  17. Vera W. de Spinadel. "The Family of Metallic Means." Visual Mathematics 1.3 (1999): 0–0.
  18. Nexus Conference Network Journal:Architeture and Mathematics
  19. Fibonacci-Numbers (Fibonacci-Zahlen), Homepage from Michael Becker. Página em alemão. Visitada 2014-01-28.
  20. Números metálicos
  21. Ilya Prigogine, El fin de las certidumbres, Andrés Bello, Chile, 1996.
  22. Metallic Means
  23. http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/maic/congreso/029%20Mesa%20redonda.pdf
  24. Números Metálicos - Fátima Vinagre - Escola Secundária de Azambuja
  25. THE FAMILY OF METALLIC MEANS
  26. H. E. Huntley, The Divine Proportion - A study in mathematical beauty, Dover Publications Inc., New York, 1970.
  27. [1]
  28. Matemática Mania
  29. O número de ouro na trigonometria
  30. Wolfram Alpha - seno de 36°


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