Método da direção implícita alternada

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Em análise numérica, o Método da Direção implícita alternada (DIA) é um Método de diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas.1 É mais notavelmente usado para resolver o problema da condução de calor ou para resolver a equação de difusão em duas ou mais dimensões.

O método tradicional para resolver a equação do calor numericamente é o Método de Crank–Nicolson. Esse método resulta em um conjunto de equações muito complicadas em múltiplas dimensões, difíceis de resolver. A vantagem do método DIA é que as equações que devem ser resolvidas em cada passo tem uma estrutura mais simples e podem ser resolvidas eficientemente com um algoritmo de matriz tridiagonal.

O método[editar | editar código-fonte]

Considere a equação da difusão linear em duas dimensões,

{\partial u\over \partial t} =
 \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } +
{\partial^2 u\over \partial y^2 }
\right)
 =  ( u_{xx} + u_{yy} )
= \Delta u

O método de Crank-Nicolson implícito produz a seguinte equação de diferenças finitas:

{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n\over \Delta t} = 
{1 \over 2}\left(\delta_x^2+\delta_y^2\right)
\left(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n\right)

onde \delta_p é o operador de diferenças central para a coordenada p. Depois de realizada uma análise de estabilidade, pode ser mostrado que esse método será estável para qualquer \Delta t.

Uma desvantagem do método de Crank-Nicolson é que a matriz na equação acima é uma matriz de banda com uma largura que é geralmente bem grande. Isso torna a solução direta do sistema de equações lineares bastante trabalhosa (embora soluções aproximadas eficientes existam).

A ideia do método ADI é dividir a equação de diferenças finitas em duas, uma com a derivada parcial em 'x' tomada implicitamente e a outra com a derivada parcial implícita em y tomada implicitamente.

{u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n\over \Delta t/2} = 
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n}\right)
{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}\over \Delta t/2} = 
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n+1}\right).

O sistema de equações envolvido é simétrico e tridiagonal e é tipicamente resolvido usando um algoritmo de matriz tridiagonal.

Pode ser mostrado que esse método é incondicionalmente estável e de segunda ordem no tempo e espaço.2 Existem métodos ADI mais refinados assim como o método de Douglas, 3 ou o método do fator f 4 o qual pode ser usado para três ou mais dimensões.

Referências

  1. Peaceman, D. W.; Rachford Jr., H. H. (1955), "The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations", Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics 3 (1): 28–41, doi:10.1137/0103003 .
  2. Douglas, Jr., J. (1955), "On the numerical integration of uxx+ uyy= ut by implicit methods", Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics 3: 42–65 .
  3. Douglas Jr., Jim (1962), "Alternating direction methods for three space variables", Numerische Mathematik 4 (1): 41–63, doi:10.1007/BF01386295, ISSN 0029-599X .
  4. Chang, M. J.; Chow, L. C.; Chang, W. S. (1991), "Improved alternating-direction implicit method for solving transient three-dimensional heat diffusion problems", Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals 19 (1): 69–84, doi:10.1080/10407799108944957, ISSN 1040-7790 .