Método da exaustão

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Este artigo é sobre o método para se encontrar a área de uma figura usando limites. Para o método de prova, veja prova por exaustão.

O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que n se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A idéia teve origem com Antífon, apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu.[1] A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso só foi possível depois que Eudoxo elaborou sua teoria das proporções, para se desvencilhar da manipulação dos irracionais. O primeiro uso da expressão foi feito por Gregorie de Saint-Vincent na obra Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, de 1647.

O método da exaustão tipicamente requeria uma forma de prova por contradição, conhecida por reductio ad absurdum. Isso se resume a encontrar a área de uma região primeiro comparando-a à área de uma segunda região (que podia ser "exaurida" de forma que se aproximasse da verdadeira área). A prova requer que se assuma que a área verdadeira seja maior que a segunda área e então provar que aquele suposição é falsa então assumindo que a verdadeira área é menor que a segunda em seguinda provando que essa asserção também é falsa. Esse tipo de prova é não-construtiva de forma que a resposta deve ser conhecida de antemão.

O método da exaustão é visto como precursor dos métodos do cálculo. O desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo integral rigorosos nos séculos XVII-XIX (em particular uma definição rigorosa de limite) incorporou o método da exaustão, de forma que ele não é mais usado explicitamente para resolver problemas.

Arquimedes usou o método para tentar calcular o valor de π preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π tanto quanto for grande o número de lados do polígono.

Outros resultados que ele obteve com o método da exaustão incluem:[2]

  • A área delimitada pela intersecção de uma linha e uma parábola é 4/3 da área do triângulo que tem a mesma base e altura;
  • A área de uma elipse é proporcional à de um retângulo que tem lados iguais aos seus eixos;
  • O volume de uma esfera é 4 vezes o de um cone de base e altura iguais ao seu raio;
  • O volume de um cilindro equiláteo (de altura igual ao diâmetro) é 3/2 do de uma esfera com o mesmo diâmetro;
  • A área delimitada por uma rotação espiral de uma reta é 1/3 da área de um círculo de raio igual ao comprimento da reta;
  • O uso do método da exaustão também levou à primeira avaliação bem sucedida de séries geométricas.

Referências

  1. University of St. Andrews, Scotland, School of Mathematics and Statistics, Antiphon the Sophist (Abril/1999) [em linha]
  2. Smith, David E. History of Mathematics. New York: Dover Publications, 1958. ISBN 0-486-20430-8

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