Método da exaustão

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Este artigo é sobre o método para se encontrar a área de uma figura usando limites. Para o método de prova, veja prova por exaustão.

O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que n se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A idéia teve origem com Antífon, apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu.[1] A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso só foi possível depois que Eudoxo elaborou sua teoria das proporções, para se desvencilhar da manipulação dos irracionais. O primeiro uso da expressão foi feito por Gregorie de Saint-Vincent na obra Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, de 1647.

O método da exaustão tipicamente requeria uma forma de prova por contradição, conhecida por reductio ad absurdum. Isso se resume a encontrar a área de uma região primeiro comparando-a à área de uma segunda região (que podia ser "exaurida" de forma que se aproximasse da verdadeira área). A prova requer que se assuma que a área verdadeira seja maior que a segunda área e então provar que aquele suposição é falsa então assumindo que a verdadeira área é menor que a segunda em seguida provando que essa asserção também é falsa. Esse tipo de prova é não-construtiva de forma que a resposta deve ser conhecida de antemão.

O nosso interesse principal no ramo da matemática grega reside no trabalho de Arquimedes, a quem de acordo com a maioria dos historiadores, deve-se a antecipação (ou mesmo a invenção) do cálculo integral. Em relação às suas obras, destacaremos algumas, seu mais famoso método demonstração: o método de exaustão; além de seus efeitos, seus fundamentos e suas contribuições para o desenvolvimento do conhecimento matemático, e um método particular para chegar aos resultados: o método do equilíbrio. Arquimedes quase sempre chegava a conclusões pelo método do equilíbrio (método do próprio Arquimedes) e depois demonstrava estas conclusões pelo método de exaustão (creditado a Eudoxo)

Notas históricas[editar | editar código-fonte]

Notas históricas mostram que para se obter a área de um círculo, algumas tentativas foram empreendidas no período antigo da matemática, dentre elas a que trata da inserção de sucessivos polígonos regulares em um círculo, procedimento que conduziu à aproximação da área e que levou à comparação entre linhas curvas e retilíneas. Até então, acreditava-se apenas na comensurabilidade dos números, porém, ao se tentar encontrar o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos de valor um cada, percebeu-se que os segmentos não eram comensuráveis, ou seja, não se podia estabelecer uma razão entre eles,episódio que ficou conhecido historicamente como a “crise dos incomensuráveis”

3.Alguns autores, como Boyer (1999) e Eves (2004), apontam que no fim dessa crise na matemática antiga, adveio um método que era possível aproximar a área uma região curva pela soma das áreas de polígonos inscritos nessa região. Esse método, mais tarde, ficou conhecido como o Método de Exaustão. Em registros históricos da matemática, esse método encontra-se atrelado a alguns nomes, o que leva à questão: de quem é a autoria do Método de Exaustão? O que mostram os historiadores da matemática?Com o objetivo de buscar uma aproximação a essa temática, buscou-se realizar umainvestigação de natureza bibliográfica, por se tratar, segundo Carvalho

et al (2002) de uma“atividade de localização e consulta de fontes diversas de informação, escrita, para coletar dados gerais ou específicos a respeito de determinado tema. (p.100). Assim, uma leitura de material já elaborado, como procedimento de investigação, possibilita realizar um estudo correlacional das informações a partir de fontes diferentes.

Dados históricos

Por muito tempo, acreditou-se apenas na comensurabilidade dos números, porém, com a descoberta dos incomensuráveis, uma crise permeou a teoria das proporções dos Pitagóricos.A crise teve seu fim com Eudoxo (c.408 - 355 AEC), mas ainda existia um problema: a comparação de linhas curvas e retilíneas. Segundo Eves (2004)e Cajori (2007),Antífon

4e Brisono5 têm seus nomes atrelados à origem do que se denominou “Método de 3 Lauand (1998) menciona o episódio também como “escândalo

histórico”.4 Ou Antífono, o sofista. Foi contemporâneo de Sócrates e Hipócrates; viveu entre 480-411 AEC.5 Ou Brison de Heráclea, ou de Heracles, o sofista. (450- ~390 AEC.) Filho do historiador Heródoto de Heracles.Exaustão”. Antífon teria dado uma das mais antigas e importantes contribuições para o problema da quadratura do círculo antecipando a ideia de inscrever um polígono regular em um círculo e multiplicar o número de seus lados sucessivamente. Dessa forma, a diferençaentre o círculo e o polígono seria quase nula. Assim, o nome de Eudoxo vincula-se à teoria das proporções e ao Método de Exaustão, que possibilitou um tratamento mais rigoroso aos cálculos de áreas, perímetros e volumes.A teoria das proporções apresentada por Eudoxo era inteiramente geométrica, e aplicável tanto a grandezas mensuráveis como a grandezas incomensuráveis, tornando a teoria aritmética dos Pitagóricos antiquada. Nos Elementos, Livro V, Euclides menciona a teoria das proporções, porém, não há referência a Eudoxo, dado o estilo da estrutura e apresentação das proposições.

O método da exaustão é visto como precursor dos métodos do cálculo. O desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo integral rigorosos nos séculos XVII-XIX (em particular uma definição rigorosa de limite) incorporou o método da exaustão, de forma que ele não é mais usado explicitamente para resolver problemas.

Arquimedes usou o método para calcular uma aproximação de π, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser feito arbitrariamente próximo do real valor de π a medida que se aumenta o número de lados do polígono.

Outros resultados que ele obteve com o método da exaustão incluem:[2]

  • A área delimitada pela intersecção de uma linha e uma parábola é 4/3 da área do triângulo que tem a mesma base e altura;
  • A área de uma elipse é proporcional à de um retângulo que tem lados iguais aos seus eixos;
  • O volume de uma esfera é 4 vezes o de um cone de base e altura iguais ao seu raio;
  • O volume de um cilindro equiláteo (de altura igual ao diâmetro) é 3/2 do de uma esfera com o mesmo diâmetro;
  • A área delimitada por uma rotação espiral de uma reta é 1/3 da área de um círculo de raio igual ao comprimento da reta;
  • O uso do método da exaustão também levou à primeira avaliação bem sucedida de séries geométricas.

O método da exaustão é visto como precursor dos métodos do cálculo. O desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo integral rigorosos nos séculos XVII-XIX (em particular uma definição rigorosa de limite) incorporou o método da exaustão, de forma que ele não é mais usado explicitamente para resolver problemas.

Arquimedes usou o método para calcular uma aproximação de π, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser feito arbitrariamente próximo do real valor de π a medida que se aumenta o número de lados do polígono.

Outros resultados que ele obteve com o método da exaustão incluem:[3]

  • A área delimitada pela intersecção de uma linha e uma parábola é 4/3 da área do triângulo que tem a mesma base e altura;
  • A área de uma elipse é proporcional à de um retângulo que tem lados iguais aos seus eixos;
  • O volume de uma esfera é 4 vezes o de um cone de base e altura iguais ao seu raio;
  • O volume de um cilindro equiláteo (de altura igual ao diâmetro) é 3/2 do de uma esfera com o mesmo diâmetro;
  • A área delimitada por uma rotação espiral de uma reta é 1/3 da área de um círculo de raio igual ao comprimento da reta;
  • O uso do método da exaustão também levou à primeira avaliação bem sucedida de séries geométricas.

Conclusões[editar | editar código-fonte]

Sabemos que hoje em dia o Cálculo Integral é largamente usado em diversas áreas doconhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de matemática, mas de Física, Química, Astronomia, Economia, por exemplo. Mas para se chegar a métodos refinados, como os de agora, o conhecimento matemático passou por diversas lapidações e contradições que duraram séculos para se resolverem. Arquimedes, pelas obras produzidas, pelo grau de rigor que se auto-exigia em suas demonstrações e pelo seu fabuloso raciocínio geométrico parecia ser um matemático que não condizia com o tempo em que vivia, pois, de longe, pensava muito além dos demais matemáticos contemporâneos, principalmente quando se falava em geometria. Sem dúvida alguma, a matemática arquimediana contribuiu bastante para o surgimento da matemática  14 moderna, já que, partindo de seus postulados foi-se capaz de se chegar a resultados mais convincentes e elaborados e que não exigiam todo aquele rigor presente nos trabalhos de Arquimedes. Com relação ao método de exaustão, que já sabemos que foi criado por Eudoxo, Arquimedes foi quem o aplicou de maneira mais elegante, aproximando-se da atual e verdadeira integração. O que podemos concluir com isso, a sua influencia no desenvolvimento do conhecimento matemático. O interessante é que nenhum matemático clássico dizia: “vamos recorrer ao método de exaustão para encontrarmos a solução do problema”. De fato, esse termo (método de exaustão) é uma invenção tardia, por volta do século XVII. Mas, entender o método de exaustão e suas aplicações e resultados não é nada trivial. O que iremos encontrar nos livros referentes ao assunto são algumas poucas e repetidas informações, além de rigorosas demonstrações nada fácil de se interpretar e tirar conclusões. Isso vem a mostrar que grande parte das obras e dos manuscritos feitos por Arquimedes foram perdidos e o que se tem hoje em dia é fruto de espinhosas traduções e interpretações muitas vezes contraditórias. Conclui-se, assim, que não se pode dar uma idéia de sua obra traduzindo os resultados para a nossa linguagem, já que uma tradução desse tipo transformaria nosso texto em um fraco elenco de resultados facilmente dedutíveis mediante as técnicas refinadas que conhecemos atualmente. Então, para estudar e reconstruir as contribuições de Arquimedes é preciso mergulhar na sua rigorosa matemática da idade antiga.

Referências

  1. University of St. Andrews, Scotland, School of Mathematics and Statistics, Antiphon the Sophist (Abril/1999) [em linha]
  2. Smith, David E. History of Mathematics. New York: Dover Publications, 1958. ISBN 0-486-20430-8
  3. Smith, David E. History of Mathematics. New York: Dover Publications, 1958. ISBN 0-486-20430-8

Ligações externas[editar | editar código-fonte]