Método de Castigliano

O método de Castigliano, devido a Carlo Alberto Castigliano, é um método para determinar os deslocamentos de um sistema linear elástico baseado em derivadas parciais da energia de deformação.

O conceito básico pode ser facilmente entendido, observando que uma mudança em energia é igual à força causadora multiplicada pelo deslocamento (pela equivalência trabalho/energia) resultante. Portanto, a força causadora é igual à mudança de energia dividida pelo deslocamento resultante. Alternativamente, o deslocamento resultante é igual à mudança de energia dividida pela força causadora. As derivadas parciais são necessárias para relacionar as forças causadoras e o deslocamento resultante com a mudança de energia.

Primeiro teorema de Castigliano

Aplicável para forças em uma estrutura elástica. O método de Castigliano para calcular forças é uma aplicação de seu primeiro teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura elástica pode ser expressa como uma função do deslocamento generalizado q_i, então a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento generalizado fornece a força generalizada Q_i.

Na forma de uma equação,

$Q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial q_{i}}}$

sendo U a energia de deformação.

Segundo teorema de Castigliano

Aplicável para deslocamentos em uma estrutura elástica linear. O método de Castigliano para calcular deslocamentos é uma aplicação de seu segundo teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser expressa como uma função da força generalizada Q_i, então a derivada parcial de energia de deformação em relação à força generalizada fornece o deslocamento generalizado q_i na direção de Q_i.

Na forma de uma equação,

$q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial Q_{i}}}.$

Exemplo

Para uma viga de Euler-Bernoulli engastada com uma carga P na extremidade livre, o deslocamento $\delta$ na extremidade livre pode ser determinado pelo segundo teorema de Castigliano:

$\delta ={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial P}}$

$\delta ={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {[M(x)]^{2}}{2EI}}dx}={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {[Px]^{2}}{2EI}}dx}$

sendo E o módulo de elasticidade, I o momento de inércia da seção transversal e M(x)=P.x a expressão do momento interno na distância x do ponto de engaste da viga. Portanto,

$=\int _{0}^{L}{{\frac {Px^{2}}{EI}}dx}$

$={\frac {PL^{3}}{3EI}}.$

Este resultado é exatamente a expressão conhecida para o deslocamento máximo de uma viga engastado com uma carga concentrada em sua extremidade livre.

Ligações externas

• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Método de Castigliano. In: MacTutor History of Mathematics archive.
• Castigliano's theorems module of Wikibooks
• Castigliano's method: some examples – German language page
• Castigliano's method: some examples – Google's translation of the above German language page