Método de Crank–Nicolson

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Na análise numérica, o método de Crank–Nicolson é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações diferenciais parciais similares.[1] É um método de segunda ordem no tempo e no espaço, implícito no tempo e é numericamente estável. O método foi desenvolvido por John Crank e Phyllis Nicolson na metade do século 20.[2]

Para equações de difusão (e muitas outras), pode-se provar que o método de Crank–Nicolson é incondicionalmente estável.[3] Contudo, as soluções aproximadas podem ainda conter oscilações significativas caso a razão entre o passo de tempo e o quadrado do passo de espaço for grande (usualmente maior que 1/2). Por essa razão, sempre que grandes passos de tempo forem tomados, o método menos preciso de euler implícito é frequentemente utilizado, o qual é estável e imune à oscilações.

O método[editar | editar código-fonte]

The Crank–Nicolson stencil for a 1D problem.

O método de Crank-Nicolson é baseado em diferenças centradas no espaço, e na regra trapezoidal no tempo, é de segunda no tempo e no espaço. Por exemplo, para um caso unidimensional, se a equação diferencial parcial for

em seguida, fazendo , a equação para o método de Crank–Nicolson é a combinação do método de euler explícito em e do método de euler implícito em n+1 (deve-se notar, contudo, que o método por si só não é simplesmente a média desses dois métodos, já que a equação tem uma dependência implícita na solução):

A função F deve ser discretizada no espaço por diferenças centradas.

Note que este é um método implícito: para conseguir o valor posterior de u no tempo, um sistema de equações algébricas deve ser resolvido. Se a equação diferencial parcial for não-linear, a discretização também deverá ser não-linear para que o avanço no tempo envolva a solução do sistema algébrico não-linear de equações, embora que linearizações sejam possíveis.

Exemplo: Difusão unidimensional[editar | editar código-fonte]

O método de Crank-Nicolson é frequentemente aplicado a problemas de difusão. Como exemplo, para a difusão linear:

a discretização de Crank-Nicolson é dada por:

ou reescrevendo, fazendo :

Referências

  1. Tuncer Cebeci (2002). Convective Heat Transfer Springer [S.l.] ISBN 0966846141. 
  2. Crank, J.; Nicolson, P. (1947). «A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type». Proc. Camb. Phil. Soc. [S.l.: s.n.] 43 (1): 50–67. doi:10.1007/BF02127704.  |surname1= e |last1= redundantes (Ajuda); |given1= e |first1= redundantes (Ajuda); |surname2= e |last2= redundantes (Ajuda); |given2= e |first2= redundantes (Ajuda).
  3. Thomas, J. W. (1995). Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Texts in Applied Mathematics 22 (Berlin, New York: Springer-Verlag). ISBN 978-0-387-97999-1. . O exemplo 3.3.2 mostra que o método é incondicionalmente estável quando aplicado à .
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