Método de Frobenius

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Na teoria das equações diferenciais ordinárias, o método de Frobenius consiste num procedimento analítico para encontrar soluções de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem na forma de série de Taylor.

O método é aplicável a equações da seguinte forma:

onde e não são funções analíticas em torno de , mas e são. Se e forem analíticas em o método não é todo necessário, bastando tomar e utilizar a resolução descrita abaixo para obter valores para .

Explicação[editar | editar código-fonte]

O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma:

Diferenciando em relação a

Substituindo na equação (1):

A expressão é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em .

Usando isto, a expressão geral do coeficiente é dada por:

Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita:

A série formada pelos Ak acima,

satisfaz

Se é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raizes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).

Pontos singulares regulares[editar | editar código-fonte]

Os pontos singulares da equação diferencial

são os pontos onde

Se os seguintes limites existem[1]:

diz-se que o ponto é um ponto singular regular.

Se for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma

A função é analítica em e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que é diferente de zero (se for nula, fatoriza-se , e redefinem-se e ficando diferente de zero). [1]

Isso implica que a constante seja também diferente zero:

As derivadas e são

Para calcular o valor do índice primeiro observamos que

a seguir multiplicamos a equação diferencial por e dividimos por P

No limite e usando as constantes e definidas acima

Das (Equações) obtemos:

Como é diferente de zero, deverá ser solução da chamada equação indicial:

Para cada raiz real da equação indicial substituímos as séries para , e na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes . [1]

Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.

Solução em séries em pontos singulares[editar | editar código-fonte]

Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.

teorema Frobenius

Se e são duas raízes da equação indicial (em ) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em , existem três casos, a depender dos valores de e :


  • Se for diferente de zero e diferente de um número inteiro,

cada raiz conduz a uma solução diferente.


  • Se , é possível obter uma única solução a partir do

método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:

onde a sucessão deverá ser obtida por substituição de na equação diferencial..[1]

  • Se for um número inteiro, existirá uma solução com a

forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:

onde é uma constante..[1]

Nos casos em que , a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções e linearmente independentes.

Quando não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de na equação diferencial..[1]

Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:

Em alguns casos as condições fronteira exigem que seja finita na origem o qual implica , se ou , já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem. .[1]

Se é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução , será também nula e não será preciso calcular .


Referências

  1. a b c d e f g [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]