Método de Laplace

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Em matemática, o método de Laplace é uma técnica originalmente desenvolvida por Pierre-Simon Laplace (1774, p. 366-367) para aproximar integrais da forma

onde é uma função duplamente diferenciável, M é um grande número, e os pontos finais da integral a e b podem estar no infinito.

A ideia do método de Laplace[editar | editar código-fonte]

A função em azul, é mostrado no topo para e em baixo para Aqui, com um máximo global em Isto é visto que como cresce de maneira mais acentuada, a aproximação desta função por uma função Gaussiana (mostrada em vermelho) é melhor obtida. Esta observação é subjacente ao método de Laplace.

Assumindo que a função f(x) tem um único máximo global em x0. Então, o valor f(x0) irá ser maior que outros valores f(x). Se nós multiplicarmos esta função por um grande número M, o lapso entre Mf(x0) e Mf(x) só irá aumentar, e então ele irá crescer exponencialmente para a função

Como tal, contribuições significativas para a integral dessa função só virá a partir de pontos x em um vizinhança de x0, a qual pode então ser estimada.

Teoria geral do método de Laplace[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer e provar o método, são necessários alguns pressupostos. Assume-se que x0 não é um ponto final do intervalo de integração, que o valor f(x) pode não ser muito próximo a f(x0) exceto se x é próximo a x0, e que .

Pode-se expandir f(x) em torno de x0 pelo teorema de Taylor,

onde

Desde que f tem um máximo global em x0, e já que x0 não é um ponto final, ele é um ponto estacionário, então f'(x0)=0 nesse ponto. Com essa simplificação, a função f(x) pode ser aproximada a ordem quadrática por

para x próximo a x0 (lembrando que a segunda derivada é negativa no máximo global f(x0)). As suposições feitas garantem a precisão da aproximação

(ver a imagem à direita). Esta última integral é uma integral de Gauss se os limites de integração vão de −∞ a +∞ (os quais podem ser assumidos então porque a exponencial decai muito rápido longe de x0), e então ela pode ser calculada. Encontra-se

Uma generalização deste método e sua extensão a precisão arbitrária é apresentado por Fog (2008).

Extensão do Método de Laplace: Descida mais íngreme[editar | editar código-fonte]

Em extensões do método de Laplace, análise complexa, e em particular a fórmula integral de Cauchy, é usada para encontrar um contorno de descida mais íngreme para uma integral equivalente (assintoticamente com M grande), expressa como uma integral de linha. Em particular, se nenhum ponto x0 onde a derivada de f desaparece existe sobre a linha real, isto pode ser necessário para deformar o contorno de integração para um ótimo, onde a análise acima será possível. Mais uma vez a idéia principal é reduzir, pelo menos assintoticamente, o cálculo da integral dada aquele de uma integral mais simples que possa ser explicitamente avaliada. Ver o livro de Erdelyi (1956) para uma discussão simples (onde o método é denominado descidas mais íngremes).

Generalizações posteriores[editar | editar código-fonte]

Uma extensão do método da descida mais íngreme é a assim chamada método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. Aqui, ao invés de integrais, é necessário avaliar as soluções assintótcas dos problemas da fatoração de Riemann-Hilbert.

Dado um contorno C na esfera complexa, uma função f definida sobre este contorno e o especial, dito infinito, busca-se uma função M holomórfica distante do contorno C, com lapso previsto em C, e com uma dada normalização no infinito. Se f e portanto M são matrizes ao invés de escalares este é um problema que em geral não admite uma solução explícita.

Uma avaliação assintótica é então possível ao longo das linhas do método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. A ideia é reduzir assintoticamente a solução do problema de Riemann-Hilbert dado aquele de um problema de Riemann-Hilbert mais simples, explicitamente resolvível. O teorema de Cauchy é usado para ajustar deformações do contorno de lapso.

A fase estacionária não linear foi introduzida por Deift e Zhou em 1993, com base em trabalhos anteriores seus. O método da descida mais íngreme não linear (propriamente falando) foi introduzido por Kamvissis, K. McLaughlin e P. Miller em 2003, baseado em trabalhos prévios de Lax, Levermore, Deift, Venakides e Zhou.

O método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear tem aplicações para a teoria de equações sóliton e modelos integráveis, matrizes aleatórias e combinatória.

Integrais complexas[editar | editar código-fonte]

Para integrais complexas na forma:

com t >> 1, nós fazemos a substituição t = iu e a mudança de variável s = c + ix para obter a transformação bilateral de Laplace:

Então dividimos g(c+ix) em sua partes reais e complexas, após o que recuperamos u = t / i. Isto é útil para tranformadas inversas de Laplace, a fórmula de Perron e integração complexa.

Exemplo 1: aproximação de Stirling[editar | editar código-fonte]

O método de Laplace pode ser usado para derivar a aproximação de Stirling

para um N inteiro grande.

Da definição da função gama, nós temos

Agora, mudamos variáveis, obtendo

tal que

Coloca-se estes valores novamente para obter


Esta integral tem a forma necessária para o método de Laplace com


a qual é duplamente diferenciável:


O máximo de f(z) situa-se em z0=1, e a segunda derivada de f(z) tem neste ponto o valor -1. Então, obtemos

Exemplo 2: estimativa de parâmetros e inferência probabilística[editar | editar código-fonte]

Azevedo-Filho and Shachter (1994) sumarizam resultados (univariados e multivariados) relacionados ao método de Laplace e apresentam um exemplo detalhado de sua aplicação a um problema envolvendo estimativa de parâmetros e inferência probabilística, sob uma ótica bayesiana. O método de Laplace é utilizado em um problema de meta-análise do domínio da medicina, envolvendo dados de experimentos, e comparado com outras técnicas. (artigo)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]