Método de Lax–Friedrichs

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O método de Lax-Friedrichs, em homenagem à Peter Lax e Kurt Otto Friedrichs, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais baseado em diferenças finitas. O método pode ser encontrado a partir do Esquema FTCS (Forward-time central-space). É um método de primeira ordem no tempo e segunda ordem no espaço que apresenta uma estabilidade condicional.

Ilustração do método[editar | editar código-fonte]

A formulação numérica pode ser deduzida a partir da equação da convecção linear:

Ao discretizarmos a equação (1) pelo esquema FTCS(Forward-time central-space), utilizamos uma diferença adiantada em relação ao tempo (explícito no tempo) e uma diferença centrada em relação ao espaço, lembrando que a diferença centrada é obtida subtraindo de e isolando provenientes das séries de Taylor, onde obtemos a discretização da convecção linear pelo esquema FTCS:

Utilizando a Análise de estabilidade de Von Neumann, descobrimos que esse método é incondicionalmente instável, para resolver esse problema de instabilidade, podemos fazer a seguinte substituição na equação (2):

Obtendo assim o método numérico de Lax-Friedrichs:

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

Estabilidade[editar | editar código-fonte]

A substituição de na equação (2) equivale a adicionar um termo de difusão artificial (também conhecida por viscosidade artificial), o que aumentará a estabilidade do método, deixando-o condicionalmente estável. Essa estabilidade condicional, pode ser verificada pela análise de estabilidade de Von Neumann:

  • A solução exata do método numérico é representada por U;
  • Erros de Round-off são representados por ;
  • A solução numérica é representada por u, onde:

Substituindo (5) em (4) obtemos:

Como U é a solução exata:

Então é verdadeiro que:

Considerando que a função erro, , pode ser expandida usando séries de Fourier:

Podemos então substituir em (6), obtendo:

Dividindo ambos os lados da equação (7) por e sabendo que o fator de amplitude é dado por (proveniente da análise de estabilidade Von Neumann), a equação (7) fica:

Podemos usar as seguintes relações de Euler para simplificação da equação (8):

A equação (8) adquire a seguinte forma:

O critério de Von Neumann afirma que o módulo do fator de amplitude deve ser menor ou igual a 1, a fim de que o método se mantenha estável:

Calculando então o módulo do fator de amplitude na equação (9), obtemos:

Onde verificamos, segundo o critétio de Von Neumann, que o método é estável se , logo a formulação é condicionalmente estável.

Referências

  • Hirsch, Charles (2007). Numerical Computation Of Internal & External Flows JohnWiley & Sons [S.l.] ISBN 0750665947. 
  • Thomas, J.W. (1995). Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods [S.l.: s.n.] 
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