Método de Muller

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O método de Muller é um método numérico para o cálculo de uma ou mais raízes de equações de uma variável baseado em uma aproximação quadrática. Foi proposto inicialmente por David E. Muller em 1956. Conhecendo-se o intervalo [x0, x2] ao qual a raiz pertence, é feita uma aproximação da função f(x) na proximidade da raiz ξ com um polinômio interpolador de grau 2. O polinômio deve passar pelos três pontos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] e [x2, f(x2)] interpolados e então a raiz do polinômio será a primeira estimativa da raiz de f(x)=0. Novas iterações são feitas repetindo esse procedimento com os três pontos mais próximos da raiz.

Essa técnica é uma modificação do Método das secantes, pois ao invés da aproximação ser feita pela reta que passa por dois pontos da curva, é feita pela parábola que passa por três pontos dados. Portanto, a estimativa para a raiz é melhor pelo método de Muller do que pelo das Secantes.

Além disso, esse método é válido para a calcular de raiz de qualquer problema, especialmente no caso de polinômios, pois pode aproximar raízes complexas também.

Dedução da Relação de Recorrência[editar | editar código-fonte]

O método consiste em um esquema iterativo em que a aproximação xi+1 é calculada como uma função de das três últimas aproximações:

Neste esquema, xi+1 é definida como a raiz mais próxima de xi do polinômio quadrático que interpola os pontos (xi,yi), (xi-1,yi-1) e (xi-2,yi-2).

Primeiramente, consideramos um polinômio quadrático conveniente:

Como o polinômio passa pelos pontos (xi-2, f (xi-2)), (xi-1, f (xi-1)) e (xi, f (xi)) ,temos o conjunto de equações (1):

Definindo

e substituindo em (1), temos um sistema linear em função de a e b:

A solução é, então:

A aproximação para a raiz da equação, que corresponde ao zero do polinômio é dada por báskara. No entanto, devido a problemas de estabilidade, essa solução é reescrita na forma de:

Assim, a relação de recorrência seria:

Como havíamos obtido dois resultados possíveis, mas estamos interessados na raiz mais próxima de xi-1, devemos escolher o mesmo sinal de b para tornar o denominador o maior possível.

Convergência do Método[editar | editar código-fonte]

O método de Muller tem taxa de convergência de aproximadamente 1,8393. Assim, o método converge relativamente rápido em geral, visto que o método das secantes apresenta taxa de convergência de 1,62 e o de Newton; 2,0. A convergência ocorre geralmente para qualquer aproximação inicial. No entanto, se a=0 o método será o próprio método das Secantes. Se a=b=0, então f (xi-2)= f (xi-1)=f (xi) e não há convergência, pois o polinômio será reduzido a uma função constante.


Interpretação Geométrica[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Burden, Richard L. e Faires, J. Douglas Análise Numérica 8ª edição Editora Cengage Learning pag 91
  • Campos, filho, Frederico Ferreira. Algoritmos Numéricos 2ª edição Rio de Janeiro: LTC, 2007

Links Externos[editar | editar código-fonte]

O Método de Muller por Ricardo A. D. Zanardini Solução de Equações Não Lineares por Rudi Gaelzer