Método de Neyman–Pearson

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Em estatística, o método ou lema de Neyman–Pearson foi introduzido pelo matemático polonês Jerzy Neyman e pelo matemático britânico Egon Pearson em um artigo de 1933. Este lema afirma que, quando se realiza um teste de hipóteses entre duas hipóteses simples e , o teste de razão de verossimilhança que rejeita em favor de quando

em que

é o teste mais potente ao nível de significância para o limiar . Se o teste for o mais potente para todo , pode ser considerado o uniformemente mais potente (UMP) para alternativas no conjunto .

Na prática, a razão de verossimilhança é com frequência usada diretamente para construir testes — como o teste de razão de verossimilhança. Entretanto, pode ser usada para sugerir estatísticas de teste particulares que podem ser de interesse ou sugerir testes simplificados — para isto, considera-se a manipulação algébrica da razão para ver se há nela estatísticas-chave relacionadas com o tamanho da razão, isto é, se uma estatística grande corresponde a uma razão pequena ou a uma razão grande.[1]

Prova[editar | editar código-fonte]

Defina a região de rejeição da hipótese nula para o teste de Neyman–Pearson como:

em que é escolhido de modo que . Qualquer outro teste terá uma região de rejeição diferente que denotamos como . A probabilidade de que os dados caiam na região , dado o parâmetro é:

[2]

Para o teste com região crítica ter nível , deve ser verdadeiro, consequentemente:

Será útil separar isto em integrais sobre regiões distintas:

Configurando , estas duas expressões e a igualdade acima dão:

Comparando as potências dos dois testes, e , tem-se que:

Mostra-se que a desigualdade à esquerda se aplica. Agora, por definição de ,

[3]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere uma amostra aleatória da distribuição , em que a média é conhecida, e suponha que queremos testar por contra . A verossimilhança para este conjunto de dados normalmente distribuídos é:

Podemos computar a razão de verossimilhança para encontrar a estatística-chave neste teste e seu efeito no valor observado do teste:

Esta razão depende apenas dos dados por . Por isso, pelo lema de Neyman–Pearson, o teste mais potente deste tipo de hipótese para este dado dependerá apenas de . Além disso, por inspeção, podemos ver que, se , então, é uma função decrescente de . Então, devemos rejeitar se for suficientemente grande. O limiar de rejeição depende apenas do tamanho do teste. Neste exemplo, a estatística de teste pode ser mostrada como sendo um variável aleatória escalonada com distribuição qui-quadrado e um valor crítico exato pode ser obtido.[4]

Aplicação em economia[editar | editar código-fonte]

Uma variante do lema de Neyman–Pearson encontrou uma aplicação no domínio aparentemente não relacionado da economia do valor da terra. Um dos problemas fundamentais na teoria do consumidor é calcular a função demanda do consumidor dados os preços. Em particular, dadas uma propriedade de terra heterogênea, uma medida de preço sobre a terra e uma medida de utilidade subjetiva sobre a terra, o problema do consumidor é calcular a melhor parcela de terra que pode comprar — isto é, a parcela de terra com a maior utilidade e cujo preço é mais adequado a seu orçamento. Acontece que este problema é muito semelhante ao problema de encontrar o teste estatístico mais potente e, então, o lema de Neyman–Pearson pode ser usado.[5]

Usos em engenharia eletrônica[editar | editar código-fonte]

O lema de Neyman–Pearson é muito útil em engenharia eletrônica, mais precisamente no desenho e uso de sistemas de radar, sistemas de comunicação digital e sistemas de processamento de sinal. Em sistemas de radar, o lema de Neyman–Pearson é usado primeiramente para configurar a razão de detecções perdidas a um (baixo) nível desejado e, em seguida, minimizar a razão de alarmes falsos ou vice-versa. Nem alarmes falsos, nem detecções perdidas podem ser configurados a razões arbitrariamente baixas, incluindo zero. Tudo o que foi dito serve também para muitos sistemas em processamento de sinais.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Neyman, J.; Pearson, E. S. (16 de fevereiro de 1933). «IX. On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses». Phil. Trans. R. Soc. Lond. A (em inglês). 231 (694-706): 289–337. ISSN 0264-3952. doi:10.1098/rsta.1933.0009 
  2. «OpenStax CNX». cnx.org (em inglês). Consultado em 1 de fevereiro de 2018 
  3. «4.2.2 The Neyman-Pearson approach | OTexts». www.otexts.org (em inglês). Consultado em 1 de fevereiro de 2018 
  4. Lehmann, Erich L.; Romano, Joseph P. (30 de março de 2006). Testing Statistical Hypotheses (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387276052 
  5. Berliant, Marcus. «A characterization of the demand for land». Journal of Economic Theory. 33 (2): 289–300. doi:10.1016/0022-0531(84)90091-7