Método de Numerov

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Método de Numerov é um método numérico para resolver uma Equação diferencial ordinária de segunda ordem cujo termo de derivada de primeira ordem não aparece. Este método é implícito, mas se torna explícito quando equação diferencial é linear (Métodos explícitos e implícitos).

O Método de Numerov foi desenvolvido por Boris Vasil'evich Numerov

O método[editar | editar código-fonte]

O Método de Numerov é usado para resolver equações diferenciais da seguinte forma:

A função é definida no intervalo [a,b] em pontos equidistantes . Começando por dois valores da função consecutivos e os remanescentes podem ser calculados por:

onde e são os valores da função no ponto e é a distância entre dois pontos consecutivos.

Equações não-lineares[editar | editar código-fonte]

Para equações não-lineares de forma

o método é dado por

Este método é implícito que se torna explícito como dito anteriormente se a função f é linear em y. A ordem no problema é 4. (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.10).

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Em física numérica uma das aplicações deste método é na resolução da Equação de Schrödinger radial para potenciais arbitrários

que pode ser reescrita na forma

com . Comparando esta equação com a definição do método de Numerov encontra-se

e então é possível resolver numericamente a Equação radial de Schrödinger.

Derivação[editar | editar código-fonte]

Expandindo por Série de Taylor em torno de :

Fazendo a distância entre e , e invertendo , pode-se escrever a equação acima como

Computacionalmente, isto significa dar um passo a frente iterativamente, se quisermos dar uma passo para trás, substitui-se todo h por -h para a equação :

Este rearranjo causou uma mudança no sinal. Em pontos igualmente espaçados, o enésimo ponto corresponde a se o espaço entre pontos adjacentes for h (com h pequeno para haver precisão). A equação discreta para e fica

A soma das duas equações resulta em

Resolvendo a equação para substituindo-o pela expressão obtida da definição de equação diferencial

Toma-se a derivada segunda da definição da nossa equação diferencial e obtemos

Substituindo a derivada segunda pelo Coeficiente diferencial de segunda ordem para (toma-se a diferença para frente e para trás juntas, não difereça para frente dupla ou diferença para trás dupla)

Rearranjando a equação e isolando obtém-se

O método de Numerov é obtido se ignorarmos o termo e a ordem de convergência, assumindo estabilidade, é 4.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (em inglês). Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0  .
    Este livro inclui as seguintes referências:
  • Numerov, Boris Vasil'evich (1924). «A method of extrapolation of perturbations». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (em inglês). 84: 592–601. Bibcode:1924MNRAS..84..592N 
  • Numerov, Boris Vasil'evich (1927). «Note on the numerical integration of d2x/dt2 = f(x,t)». 359–364. Astronomische Nachrichten (em inglês). 230. Bibcode:1927AN....230..359N 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]