Método de Numerov

Método de Numerov é um método numérico para resolver uma Equação diferencial ordinária de segunda ordem cujo termo de derivada de primeira ordem não aparece. Este método é implícito, mas se torna explícito quando equação diferencial é linear (Métodos explícitos e implícitos).

O Método de Numerov foi desenvolvido por Boris Vasil'evich Numerov

O método

O Método de Numerov é usado para resolver equações diferenciais da seguinte forma:

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+f(x)\right)y(x)=0$

A função $y(x)$ é definida no intervalo [a,b] em pontos equidistantes $x_{n}$. Começando por dois valores da função consecutivos $x_{n-1}$ e $x_{n}$ os remanescentes podem ser calculados por:

$y_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f_{n}\right)y_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n-1}\right)y_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n+1}}}$

onde $f_{n}=f(x_{n})$ e $y_{n}=y(x_{n})$ são os valores da função no ponto $x_{n}$ e $h=x_{n}-x_{n-1}$ é a distância entre dois pontos consecutivos.

Equações não-lineares

Para equações não-lineares de forma

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=f(t,y)$

o método é dado por

$y_{n+1}=2y_{n}-y_{n-1}+{\tfrac {1}{12}}h^{2}(f_{n+1}+10f_{n}+f_{n-1}).$

Este método é implícito que se torna explícito como dito anteriormente se a função f é linear em y. A ordem no problema é 4. (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.10).

Aplicação

Em física numérica uma das aplicações deste método é na resolução da Equação de Schrödinger radial para potenciais arbitrários

$\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\left({\frac {1}{r}}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}r-{l(l+1) \over r^{2}}\right)+V(r)\right]R(r)=ER(r)$

que pode ser reescrita na forma

$\left[{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}-{l(l+1) \over r^{2}}+{2\mu \over \hbar ^{2}}\left(E-V(r)\right)\right]u(r)=0$

com $u(r)=rR(r)$. Comparando esta equação com a definição do método de Numerov encontra-se

$f(x)={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}$

e então é possível resolver numericamente a Equação radial de Schrödinger.

Derivação

Expandindo por Série de Taylor $y(x)$ em torno de $x_{0}$:

$y(x)=y(x_{0})+(x-x_{0})y'(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}y''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{4}}{4!}}y''''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

Fazendo $h=x-x_{0}$ a distância entre $x$ e $x_{0}$, e invertendo $x=x_{0}+h$, pode-se escrever a equação acima como

$y(x_{0}+h)=y(x_{0})+hy'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{0})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

Computacionalmente, isto significa dar um passo a frente iterativamente, se quisermos dar uma passo para trás, substitui-se todo h por -h para a equação $y(x_{0}-h)$:

$y(x_{0}-h)=y(x_{0})-hy'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{0})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{0})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

Este rearranjo causou uma mudança no sinal. Em pontos igualmente espaçados, o enésimo ponto corresponde a $x_{n}$ se o espaço entre pontos adjacentes for h (com h pequeno para haver precisão). A equação discreta para $(x_{n-1},y_{n-1})$ e $(x_{n+1},y_{n+1})$ fica

$y_{n+1}=y(x_{n}+h)=y(x_{n})+hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

$y_{n-1}=y(x_{n}-h)=y(x_{n})-hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

A soma das duas equações resulta em

$y_{n-1}+y_{n+1}=2y_{n}+{h^{2}}y''_{n}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})$

Resolvendo a equação para $y''_{n}$ substituindo-o pela expressão $y''_{n}=-f_{n}y_{n}$ obtida da definição de equação diferencial

$h^{2}f_{n}y_{n}=2y_{n}-y_{n-1}-y_{n+1}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})$

Toma-se a derivada segunda da definição da nossa equação diferencial e obtemos

$y''''(x)=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[f(x)y(x)\right]$

Substituindo a derivada segunda ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$ pelo Coeficiente diferencial de segunda ordem para $f_{n}y_{n}$ (toma-se a diferença para frente e para trás juntas, não difereça para frente dupla ou diferença para trás dupla)

$h^{2}f_{n}y_{n}=2y_{n}-y_{n-1}-y_{n+1}-{\frac {h^{4}}{12}}{\frac {f_{n-1}y_{n-1}-2f_{n}y_{n}+f_{n+1}y_{n+1}}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}(h^{6})$

Rearranjando a equação e isolando $y_{n+1}$ obtém-se

$y_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f_{n}\right)y_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n-1}\right)y_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n+1}}}+{\mathcal {O}}(h^{6}).$

O método de Numerov é obtido se ignorarmos o termo $h^{6}$ e a ordem de convergência, assumindo estabilidade, é 4.

Referências

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (em inglês). Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0  .
  Este livro inclui as seguintes referências:
• Numerov, Boris Vasil'evich (1924). «A method of extrapolation of perturbations». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (em inglês). 84: 592–601. Bibcode:1924MNRAS..84..592N 
• Numerov, Boris Vasil'evich (1927). «Note on the numerical integration of d²x/dt² = f(x,t)». 359–364. Astronomische Nachrichten (em inglês). 230. Bibcode:1927AN....230..359N 

Ligações externas

• Lecture notes: Computerphysik und Numerik - by Jan Krieger
• Lecture notes of Werner Scholz - At Vienna University of Technology
• Lecture notes of Alexander Wagner