Método de passo múltiplo

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Métodos de passo múltiplos são utilizados para a soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias. Conceitualmente, um método numérico começa a partir de um ponto inicial e, em seguida, leva um pequeno passo para a frente no tempo para encontrar o próximo ponto da solução. O processo continua com os passos subsequentes para mapear a solução. Métodos de uma etapa (como o método de Euler) referem-se a apenas um ponto anterior e sua derivada a determinar o valor atual. Métodos como os Runge-Kutta dão alguns passos intermediários (por exemplo, um meio-passo) para obter um método de ordem superior, mas, em seguida, descartam todas as informações anteriores antes de tomar uma segunda etapa. Métodos de várias etapas tentam ganhar eficiência, mantendo e usando as informações a partir das etapas anteriores, em vez de descartá-las. Consequentemente, os métodos de várias etapas referem-se a vários pontos anteriores e valores derivados. No caso de métodos de várias etapas lineares, uma combinação linear dos pontos anteriores e os valores derivados são utilizados.[1]

Métodos de Adams-Bashforth[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Para o problema de valor inícial

O método de passo múltiplo de n passos tem uma equação de diferença para encontrar a aproximação de no ponto da malha possui a seguinte equação, onde é um número inteiro maior que 1[2]:

para em que e são constantes e , , , , são valores iniciais especificados.

É Chamado de explícito ou aberto quando pois a equação acima apresenta explicitamente em função dos valores já determinados. Já para o método é definido como implícito ou fechado, isso porque ocorre em am ambos os lados da equação da malha e é especificado implicitamente.

Enfim, o método de Adams-Bashforth pode ser definido como um esquema de repetição do tipo:

EXEMPLOS:

  • Adams-Bashforth de segunda ordem:

  • Adams-Bashforth de terceira ordem:

  • Adams-Bashforth de quarta ordem:

Os métodos de de passo múltiplo evitam as múltiplas etapas do método de Runge-Kutta, mas existe a necessidade de serem iniciados com suas condições iniciais.

Referências

  1. Sidi, Avram (2013). Practical Extrapolation Methods: Theory and Applications (em inglês). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. p. 421. ISBN 0521661595. Consultado em 20 de julho de 2014 
  2. Richard L. Burden; J. Douglas Faires. Análise Numérica. [S.l.]: Editora CENGAGE Learning, 8° ediçao