Método variacional

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Mecânica quântica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
Princípio da Incerteza
Introducão a...

Formulação matemática

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Na mecânica quântica, o método variacional é uma ferramenta matemática utilizada para encontrar aproximações do valor próprio de mais baixa energia ou estado fundamental. Os fundamentos para este método vêm do princípio variacional.

Este método consiste em escolher uma função de onda trivial e que dependa de um ou mais parâmetros, e encontrar os valores destes parâmetros para cada valor esperado onde a energia seja a menor possível. A função de onda obtida pela substituição dos parâmetros pelos valores encontrados será uma aproximação do estado fundamental da função de onda, e o valor esperado de energia neste estado será um majorante para a energia deste estado fundamental.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponha um espaço de Hilbert e um operador autoadjunto sobre o hamiltoniano H. Ignore-se possíveis complicações de um espectro contínuo, suponha um espectro discreto de H e os espaços esperados correspondentes para cada valor esperado λ

\sum_{\lambda_1,\,\lambda_2\in\mathrm{Spec}(H)}\lang\psi_{\lambda_1}|\psi_{\lambda_2}\rang=\delta_{\lambda_1\lambda_2}

onde \delta_{i,j} é o delta de Kronecker

\hat{H} \left|\psi_\lambda\right\rangle = \lambda\left|\psi_\lambda \right\rangle .

Estados físicos são normalizados, ou seja suas normas são iguais a 1. Suponha agora que o espaço seja limitado por baixo e que seu maior limite inferior seja E_0. Suponha também que o estado correspondente a |ψ> seja conhecido. O valor esperado de H será então

\left\langle\psi|H|\psi\right\rangle = \sum_{\lambda_1,\lambda_2 \in \mathrm{Spec}(H)} \left\langle\psi|\psi_{\lambda_1}\right\rangle \left\langle\psi_{\lambda_1}|H|\psi_{\lambda_2}\right\rangle \left\langle\psi_{\lambda_2}|\psi\right\rangle
=\sum_{\lambda\in \mathrm{Spec}(H)}\lambda \left|\left\langle\psi_\lambda|\psi\right\rangle\right|^2\ge\sum_{\lambda \in \mathrm{Spec}(H)}E_0 \left|\left\langle\psi_\lambda|\psi\right\rangle\right|^2=E_0

Se variarmos para todos os possíveis estados com norma 1 para que se minimize o valor esperado de H, o menor valor seria E_0 e o estado correspondente seria um estado esperado de E_0. Quando varia-se sobre todo o espaço de Hilbert normalmente se obtém cálculos complexos demais e um subespaço necessita ser escolhido. A escolha de diferentes subespaços levam a diferentes aproximações e o processo de escolha do subespaço com melhor aproximação é chamado de ansatz.

Suponha que haja alguma sobreposição entre o ansatz e o estado fundamental (caso contrário seria um ansatz ruim). Então para se normalizar o subespaço do ansatz

 \left\langle \psi(\alpha_i) | \psi(\alpha_i) \right\rangle = 1

e agora minimizando

 \varepsilon(\alpha_i) =  \left\langle \psi(\alpha_i)|H|\psi(\alpha_i) \right\rangle .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • Griffiths, D. J.. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 1995. 0-13-124405-1
  • Sakurai, J. J.. Modern Quantum Mechanics. Revised ed. [S.l.]: Addison-Wesley, 1994. 0-201-53929-2