Magma comutativo

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Em matemática, existem magmas que são comutativos, mas não associativos. Um exemplo simples de tais magmas é obtido a partir do jogo das crianças de pedra, papel e tesoura. Tais magmas dão origem a álgebras não-associativas.

Um magma comutativo não-associativo derivado do jogo de pedra, papel e tesoura[editar | editar código-fonte]

Mapa de Karnaugh de todas as possibilidades de as propriedades Comutativa, Associativa, Inverso, e Identidade valer (y) ou não (n), e a definição de uma operação binária ⊕ correspondente sobre os números inteiros para quase todas as possibilidades.

Seja cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a operação binária decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:

Para quaisquer
  • Se e vence no jogo, então,
  • ou seja, todo é idempotente.
Assim, por exemplo:
  •   "o papel vence a pedra";
  •   "a tesoura empata com a tesoura".

Isso resulta na seguinte tabela de Cayley:

Por definição, o magma é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que:
mas
isto é,

Outros exemplos[editar | editar código-fonte]

A operação de "média" nos números racionais (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo,

mas
Geralmente, as operações de média estudadas em topologia não precisam ser associativas.

A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de variações, desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária trichotomous relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma ordem total (estrita); caso contrário, se finito, ela contém ciclos orientados (como pedra-papel-tesoura-pedra) e o magma é não-associativa. Para ver este último caso, considere a combinação de todos os elementos de um ciclo na ordem inversa, isto é, de modo que cada elemento combinado vence o anterior; o resultado é o último elemento combinado, enquanto associatividade e comutatividade significaria que o resultado só dependeria do conjunto de elementos do ciclo.

A linha inferior do diagrama de Karnaugh acima dá mais exemplos de operações, definidas nos números inteiros (ou em qualquer anel comutativo).

Álgebras não associativas comutativas derivadas[editar | editar código-fonte]

Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma álgebra sobre um corpo comutativa mas não-associativa: considere como sendo o espaço vetorial tridimensional sobre cujos elementos são escritos na forma

em que A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas componente a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos O conjunto

 : ou seja,

forma uma base para a álgebra Como antes, a multiplicação de vetores em é comutativa, mas não é associativa.

O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo uma álgebra sobre em que será não-associativa se o mesmo ocorrer com