Matriz adjunta

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A matriz adjunta de uma matriz quadrada A é a matriz transposta da matriz que se obtem substituindo cada termo pelo determinante da matriz resultante de retirar de A a linha i e a coluna j (isso é, o determinante menor) multiplicado por (isso é, alternando os sinais).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Matrizes 2x2[editar | editar código-fonte]

Para toda matriz de ordem 2:

[1]

Construindo a adjunta passo-a-passo[editar | editar código-fonte]

Vamos deduzir a adjunta da matriz representada abaixo:

Primeiro calculamos a matriz dos determinantes menores, tradicionalmente representada por "".

Agora multiplicamos todo por para obter a matriz dos cofactores, tradicionalmente representada por "". Em termos mais simples, invertemos os sinais de todos aqueles termos cuja soma "" é ímpar.

Em seguida, transpomos a matriz para chegar a matriz adjunta:

Matrizes 3x3[editar | editar código-fonte]

Para toda matriz na forma:

[2]

Fazendo a matriz dos cofatores de A, temos que:

Onde as barras verticais simbolizam determinante.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As seguintes propriedades são válidas para todas as matrizes

, em que é a matriz identidade.
, em que 0 é a matriz nula.
em que
, para o caso particular de ser resulta em

Aplicações da adjunta[editar | editar código-fonte]

Determinação da matriz inversa[editar | editar código-fonte]

Com a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:

Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:

Observação: Alguns matemáticos desaconselham a notação acima em favor da seguinte:

Vale reforçar que só é inversível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.

Outras aplicações[editar | editar código-fonte]

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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  2. «Faça exemplos de Adjuntas com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23.