Matriz de Transição de Estados

Na teoria de controle, a matriz de transição de estado é uma matriz cujo produto com o vetor de estado $x$ em um momento inicial $t_{0}$ permite obter $x$ após um tempo $t$, permitindo assim conhecer o estado de um sistema em qualquer instante futuro. A matriz de transição de estado pode ser usada para obter a solução geral de sistemas dinâmicos lineares.

A matriz de transição de estado é usada para encontrar a solução para uma representação geral no espaço de estado de um sistema linear da seguinte forma

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ ,

Onde $\mathbf {x} (t)$ são os estados do sistema, $\mathbf {u} (t)$ é o sinal de entrada, $\mathbf {A} (t)$ e $\mathbf {B} (t)$ são funções de matriz, e $\mathbf {x} _{0}$ é a condição inicial em $t_{0}$ . Usando a matriz de transição de estado $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, a solução é dada por:

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$

O primeiro termo é conhecido como resposta de entrada zero e o segundo termo é conhecido como resposta de estado zero .

Série Peano – Baker

A matriz de transição mais geral é dada pela série Peano-Baker

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...$

Onde $\mathbf {I}$ é a matriz de identidade . Esta matriz converge de maneira uniforme e absoluta para uma solução que existe e é única.

Outras propriedades

A matriz de transição de estado $\mathbf {\Phi }$ satisfaz os seguintes relacionamentos:

1 É contínuo e possui derivados contínuos.

2, nunca é singular; de fato $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$ e $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$, Onde $I$ é a matriz de identidade.

3 - $\mathbf {\Phi } (t,t)=I$ para todos $t$ .

4 - $\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$ para todos $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}$ .

5 Satisfaz a equação diferencial ${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ com condições iniciais $\mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I$ .

6 A matriz de transição de estado $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, dado por

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$

onde o $n\times n$ matriz $\mathbf {U} (t)$ é a matriz de solução fundamental que satisfaz

${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$ com condição inicial $\mathbf {U} (t_{0})=I$ .

7 Dado o estado $\mathbf {x} (\tau )$ a qualquer momento $\tau$, o estado em qualquer outro momento $t$ é dado pelo mapeamento

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

Estimativa da matriz de transição de estado

No caso invariante no tempo, podemos definir $\mathbf {\Phi }$, usando a matriz exponencial, como $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$ .

No caso da variante do tempo, a matriz de transição de estado $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ pode ser estimado a partir das soluções da equação diferencial ${\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)$ com condições iniciais $\mathbf {u} (t_{0})$ dado por $[1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, $[0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}$ ,. . ., $[0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}$ . As soluções correspondentes fornecem o $n$ colunas de matriz $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ . Agora, da propriedade 4, $\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}$ para todos $t_{0}\leq \tau \leq t$ . A matriz de transição de estado deve ser determinada antes que a análise da solução variável no tempo possa continuar.

Ver também

• Expansão Magnus
• Fórmula de Liouville

Referências

• Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159 
• Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory. Prentice Hall. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-589763-7