Matriz positiva definida

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Em álgebra linear, uma matriz definida positiva é uma matriz que, em muitos aspectos, é análoga a um número real positivo. A noção é parecida com a de uma forma bilinear simétrica positiva-definida (ou uma forma sesquilinear no caso complexo).

A definição adequada de definida positiva não tem ambiguidades no caso de matrizes Hermitianas, mas não há consenso na literatura a respeito de como ela deve ser estendida para matrizes não Hermitianas, se é que isso deve ser feito. (Consulte a seção sobre Matrizes não Hermitianas abaixo)

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz real M de ordem n × n é definida positiva se zTMz  > 0 para todos os vetores não-nulos z com entradas reais (isto é, ), em que zT denota o transposto de z.

Uma matriz complexa M de ordem n × n é definida positiva se ℜ(z*Mz) > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z, em que z* denota o transposto conjugado de z e ℜ(c) é a parte real de um número complexo c.

Uma matriz complexa Hermitiana M de ordem n × n é definida positiva se z*Mz > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z. A quantidade z*Mz é sempre um número real porque M é uma matriz Hermitiana.

Caracterizações[editar | editar código-fonte]

Seja M uma matriz Hermitiana n × n. As seguintes propriedades são equivalentes a M ser positiva definida:

1. Todos os autovalores de são positivos. Lembre-se que que qualquer Hermitiana M possui uma decomposição espectral M = P−1DP em que P é uma matriz unitária cujas linhas são autovetores ortonormais de M, formando uma base, e D é uma matriz diagonal. Portanto M pode ser considerada como uma matriz diagonal real D que foi expressa em um outro sistema de coordenadas. Esta caracterização significa que M é positiva definida se e somente se os elementos da diagonal de D (os autovalores) são todos positivos. Em outras palavras, na base que consiste de autovetores de M, a ação de M é a multiplicação componente a componente com um elemento (fixo) de Cn com entradas positivas{{esclarecer|data=novembro de 2011.
2. A forma sesquilinear

define um produto interno em Cn. (De fato, todo produto interno em Cn é obtido desta forma a partir de uma matriz Hermitiana definida positiva.) Em particular, a propriedade de uma matriz Hermitiana ser positiva definida é equivalente ao fato de que para todo x diferente de zero.

3. M é a matriz de Gram de alguma coleção de vetores linearmente independentes

para algum k. Em outras palavras, M tem a seguinte propriedade:

Opcionalmente, pode-se impor que os vetores xi pertençam a Cn. Em outras palavras, M é da forma A*A onde A não é necessariamente quadrada, mas deve ser injetora em geral.

4. Todas as matrizes a seguir possuem determinante positivo (o critério de Sylvester):
  • o canto superior esquerdo 1-por-1 de
  • o canto superior esquerdo 2-por-2 de
  • o canto superior esquerdo 3-por-3 de
  • ...
  • a própria

Em outras palavras, todos os menores principais líderes são positivos. Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais devem ser não-negativos. Considerar apenas os menores principais líderes não garante que a matriz seja semidefinida positiva, como pode se ver no exemplo

5. Existe uma única matriz triangular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos, que permite a fatoração de como

em que é a conjugada transposta de Esta fatoração é conhecida como a fatoração de Cholesky.

6. A função quadrática associada a M

é, indiferente ao valor de b, uma função estritamente convexa. Nesse caso, possui um mínimo global, e isso explica porque as matrizes definidas positivas são tão comuns em problemas de otimização.

Para matrizes simétricas reais, estas propriedades podem ser simplificadas trocando-se por e "transposição conjugada" por "transposição".

Formas quadráticas[editar | editar código-fonte]

Expandindo a condição 2 acima, pode-se formular a definição do que é ser "definida positiva" em termos de formas quadráticas. Seja K o corpo R ou C, e V um espaço vetorial sobre K. Uma forma Hermitiana

é uma aplicação bilinear tal que B(x, y) é sempre o conjugado complexo de B(y, x). Uma função B deste tipo é chamada definida positiva se B(x, x) > 0 para todo x não-zero em V.

Matrizes definidas negativas, semidefinidas e indefinidas[editar | editar código-fonte]

Negativa definida[editar | editar código-fonte]

O n × n diz-se que a matriz Hermitiana é negativa definida se

para todo não-zero (ou, análogamente, todo não-zero).

A matriz m será negativa definida se e somente se:

  • A matriz simétrica resultante da soma de M com sua transposta, também for negativa definida [1].
  • A matriz inversa for negativa definida.
  • Se a matriz M for simétrica, então ela será negativa definida se e somente se todos os seus valores característicos forem negativos.

A matriz é definida negativa se todos os auto-valores são negativos, é semi-definida positiva se todos são maiores ou iguais a zero, e semi-definida negativa se todos são menores ou iguais a zero.

Matriz semi-definida negativa[editar | editar código-fonte]

A matriz quadrada M é chamada semidefinida-negativa se

para todo (ou ).

Matriz positiva semi-definida[editar | editar código-fonte]

A matriz quadrada M é chamada positiva-semidefinida se

para todo (ou )

A matriz M é positiva semi-definida se e somente se ela se sobressai como Gram matriz de alguns vetores fixos. Ao contrário do caso definido positivo, estes vetores não precisam ser linearmente independentes.

Comparação[editar | editar código-fonte]

Seja A uma matriz simétrica n X n e x um vetor (ou escalar, que é um vetor 1X1) em Então[2][3]:

A matriz A é... Se e somente se... Ou, equivalentemente, se o valor dos autovalores de Determinante das submatrizes principais Se esta condição valer, então a matriz inversa
Semidefinida Não negativa (matriz positiva semi-definida) Forem não-negativos[4] e e
Não-positiva (matriz semi-definida negativa) são não positivas e e
Definida (e portanto também semidefinida) Positiva Forem todos positivos[4] São todos positivos existe e é positiva definida [5]
Negativa Forem todos negativos Alternam os sinais de positivo para negativo e
Indefinida para alguns x e para outros x Exemplo e e

Note que a quantidade é sempre real. Esta expressão é conhecida como forma quadrática de M [3] .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A matriz identidade é definida positiva, pois que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
  • A matriz real e simétrica é positiva definida, pois

Reorganizando os elementos da soma acima, temos:

que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 935.
  2. SIMON, Carl e BLUME, Lawrence. matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008.
  3. a b INTRILIGATOR, Michael. Mathematical Optimization and Economic Theory. Prentice Hall Inc., 1971. Apêndice "B.8 - Quadratic Forms", página 495.
  4. a b BHAYA, Amit. Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc.. Aula 8. Disponível em: <http://www.nacad.ufrj.br/~amit/alglin/aula8.pdf>. Acesso em: 13 de julho de 2011.
  5. WOOLDRIDGE. Introdução à econometria. Ed. Thomson. Apêndice D- Resumo de álgebra matricial. Página 103
  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
  • Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.