Matriz positiva definida
Em álgebra linear, uma matriz definida positiva é uma matriz que, em muitos aspectos, é análoga a um número real positivo. A noção é parecida com a de uma forma bilinear simétrica positiva-definida (ou uma forma sesquilinear no caso complexo).
A definição adequada de definida positiva não tem ambiguidades no caso de matrizes Hermitianas, mas não há consenso na literatura a respeito de como ela deve ser estendida para matrizes não Hermitianas, se é que isso deve ser feito. (Consulte a seção sobre Matrizes não Hermitianas abaixo)
Definição
[editar | editar código-fonte]Uma matriz real M de ordem n × n é definida positiva se zTMz > 0 para todos os vetores não-nulos z com entradas reais (isto é, ), em que zT denota o transposto de z.
Uma matriz complexa M de ordem n × n é definida positiva se ℜ(z*Mz) > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z, em que z* denota o transposto conjugado de z e ℜ(c) é a parte real de um número complexo c.
Uma matriz complexa Hermitiana M de ordem n × n é definida positiva se z*Mz > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z. A quantidade z*Mz é sempre um número real porque M é uma matriz hermitiana.
Caracterizações
[editar | editar código-fonte]Seja M uma matriz hermitiana n × n. As seguintes propriedades são equivalentes a M ser positiva definida:
1. | Todos os autovalores de são positivos. Lembre-se que que qualquer Hermitiana M possui uma decomposição espectral M = P−1DP em que P é uma matriz unitária cujas linhas são autovetores ortonormais de M, formando uma base, e D é uma matriz diagonal. Portanto M pode ser considerada como uma matriz diagonal real D que foi expressa em um outro sistema de coordenadas. Esta caracterização significa que M é positiva definida se e somente se os elementos da diagonal de D (os autovalores) são todos positivos. Em outras palavras, na base que consiste de autovetores de M, a ação de M é a multiplicação componente a componente com um elemento (fixo) de Cn com entradas positivas{{esclarecer|data=novembro de 2011. |
2. | A forma sesquilinear define um produto interno em Cn. (De fato, todo produto interno em Cn é obtido desta forma a partir de uma matriz Hermitiana definida positiva.) Em particular, a propriedade de uma matriz Hermitiana ser positiva definida é equivalente ao fato de que para todo x diferente de zero. |
3. | M é a matriz de Gram de alguma coleção de vetores linearmente independentes para algum k. Em outras palavras, M tem a seguinte propriedade:
Opcionalmente, pode-se impor que os vetores xi pertençam a Cn. Em outras palavras, M é da forma A*A onde A não é necessariamente quadrada, mas deve ser injetora em geral. |
4. | Todas as matrizes a seguir possuem determinante positivo (o critério de Sylvester):
Em outras palavras, todos os menores principais líderes são positivos. Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais devem ser não-negativos. Considerar apenas os menores principais líderes não garante que a matriz seja semidefinida positiva, como pode se ver no exemplo |
5. | Existe uma única matriz triangular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos, que permite a fatoração de como
em que é a conjugada transposta de Esta fatoração é conhecida como a fatoração de Cholesky. |
6. | A função quadrática associada a M
é, indiferente ao valor de b, uma função estritamente convexa. Nesse caso, possui um mínimo global, e isso explica porque as matrizes definidas positivas são tão comuns em problemas de otimização. |
Para matrizes simétricas reais, estas propriedades podem ser simplificadas trocando-se por e "transposição conjugada" por "transposição".
Formas quadráticas
[editar | editar código-fonte]Expandindo a condição 2 acima, pode-se formular a definição do que é ser "definida positiva" em termos de formas quadráticas. Seja K o corpo R ou C, e V um espaço vetorial sobre K. Uma forma Hermitiana
é uma aplicação bilinear tal que B(x, y) é sempre o conjugado complexo de B(y, x). Uma função B deste tipo é chamada definida positiva se B(x, x) > 0 para todo x não-zero em V.
Matrizes definidas negativas, semidefinidas e indefinidas
[editar | editar código-fonte]Negativa definida
[editar | editar código-fonte]O n × n diz-se que a matriz Hermitiana é negativa definida se para todo não-zero (ou, analogamente, todo não-zero).
A matriz m será negativa definida se e somente se:
- A matriz simétrica resultante da soma de M com sua transposta, também for negativa definida [1].
- A matriz inversa for negativa definida.
- Se a matriz M for simétrica, então ela será negativa definida se e somente se todos os seus valores característicos forem negativos.
A matriz é definida negativa se todos os auto-valores são negativos, é semi-definida positiva se todos são maiores ou iguais a zero, e semi-definida negativa se todos são menores ou iguais a zero.
Matriz semi-definida negativa
[editar | editar código-fonte]A matriz quadrada M é chamada semidefinida-negativa se para todo (ou ).
Matriz positiva semi-definida
[editar | editar código-fonte]A matriz quadrada M é chamada positiva-semidefinida se para todo (ou ).
A matriz M é positiva semi-definida se e somente se ela se sobressai como Gram matriz de alguns vetores fixos. Ao contrário do caso definido positivo, estes vetores não precisam ser linearmente independentes.
Comparação
[editar | editar código-fonte]Seja A uma matriz simétrica n X n e x um vetor (ou escalar, que é um vetor 1X1) em Então[2][3]:
A matriz A é... | Se e somente se... | Ou, equivalentemente, se o valor dos autovalores de | Determinante das submatrizes principais | Se esta condição valer, então a matriz inversa | |
---|---|---|---|---|---|
Semidefinida | Não negativa (matriz positiva semi-definida) | Forem não-negativos[4] | São todos não negativos | e | |
Não-positiva (matriz semi-definida negativa) | são não positivas | Alternam os sinais, sendo não positivos nas impares e não negativos nas pares | e | ||
Definida (e portanto também semidefinida) | Positiva | Forem todos positivos[4] | São todos positivos | existe e é positiva definida [5] | |
Negativa | Forem todos negativos | Alternam os sinais, sendo negativos nas impares e positivos nas pares | e | ||
Indefinida | para alguns x e para outros x | Exemplo | e | e |
Note que a quantidade é sempre real. Esta expressão é conhecida como forma quadrática de M [3] .
Exemplos de matrizes positivas definidas
[editar | editar código-fonte]- A matriz identidade é definida positiva, pois que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
- A matriz real e simétrica é positiva definida, pois
Reorganizando os elementos da soma acima, temos:
, que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.
Exemplos de matrizes negativas definidas
[editar | editar código-fonte]- A matriz identidade negativa é definida negativa, pois que é sempre um número negativo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado multiplicada por (-1)).
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 935.
- ↑ SIMON, Carl e BLUME, Lawrence. matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008.
- ↑ a b INTRILIGATOR, Michael. Mathematical Optimization and Economic Theory. Prentice Hall Inc., 1971. Apêndice "B.8 - Quadratic Forms", página 495.
- ↑ a b BHAYA, Amit. Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc.. Aula 8. Disponível em: <http://www.nacad.ufrj.br/~amit/alglin/aula8.pdf>. Acesso em: 13 de julho de 2011.
- ↑ WOOLDRIDGE. Introdução à econometria. Ed. Thomson. Apêndice D- Resumo de álgebra matricial. Página 103
- Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
- Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.