Matriz definida positiva

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Em álgebra linear, uma matriz "M" é definida positiva se o escalar resultante da multiplicação for positivo, sendo que:

  • "M" é uma matriz real e simétrica de dimensões n X n
  • é qualquer vetor de dimensão nX1, não nulo, que contém apenas números reais
  • o transposto do vetor , portanto tem dimensões 1Xn

Em termos mais gerais, uma matriz hermitiana "M" é definida positiva se o escalar resultante da multiplicação for real e positivo, sendo que:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A matriz identidade é definida positiva, pois , que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
  • A matriz real e simétrica é positiva definida, pois

Reorganizando os elementos da soma acima, temos:

, que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Definições equivalentes[editar | editar código-fonte]

Seja M uma matriz hermitiana quadrada n × n. De agora em diante notaremos a transposta de uma matriz ou vetor como , e o conjugado transposto, . Esta matriz M se diz definida positiva é obtida com uma (e portanto, as demais) das seguintes formulações equivalentes:

1. Para todos os vetores não nulos temos que
.

Note-se que é sempre real. O produto anterior, recebe o nome de Produto Quântico.

2. Todos os autovalores de são positivos. (Recordamos que os autovalores de uma matriz hermitiana ou em sua falta, simétrica, são reais.)
3. A função

define um produto interno .

4. Todos os determinantes dos menores principais de são positivos. Ou o que é equivalente; todas as seguintes matrizes tem determinantes positivos.
  • a superior esquerda de M de dimensão 1x1
  • a superior esquerda de M de dimensão 2x2
  • a superior esquerda de M de dimensão 3x3
  • ...
  • a superior esquerda de M de dimensão (n-1)x(n-1)
  • em si mesma
Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais tem que ser não negativos (Critério de Sylvester).

Referências