Matriz inversa

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Uma matriz quadrada é dita invertível quando existe outra matriz denotada tal que

e

onde é a matriz identidade.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Considerando-se uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades:

  1. A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
  2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz:
  3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa:
  4. A inversa de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número.
  5. O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada.
  6. Em geral, uma matriz quadrada sobre um anel comutativo é invertível se e somente se o seu determinante é uma unidade do anel.

Pré-multiplicação[editar | editar código-fonte]

A pré-multiplicação é útil quando se quer isolar uma matriz em um lado de uma equação. Por exemplo, sejam A, B e C matrizes, com A invertível, tais que

Para expressar a matriz B em termos das outras duas, basta multiplicar ambos os membros da igualdade pela inversa de A:[1]

Inversa da matriz identidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.

Isso ocorre pois:

Determinação da inversa[editar | editar código-fonte]

Aplicação da definição de inversa[editar | editar código-fonte]

Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:

Exemplo
Se queremos descobrir a inversa da matriz de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:
[2]

Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:

Resolvendo essa multiplicação de matrizes somos conduzidos a um sistema de equações:

Logo:

No caso de a matriz que queremos inverter não ser na realidade invertível, chegaríamos a um sistema impossível.

Solução analítica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz adjunta

Escrever a transposta da matriz dos cofatores, conhecida como matriz adjunta, também pode ser uma forma eficiente de se calcular a inversa de matrizes pequenas, mas esse método recursivo é ineficiente para matrizes grandes. Para obter a inversa, calcula-se a matriz dos cofatores:

em que |A| é o determinante de A, Cij é a matriz dos cofatores, e CT representa a matriz transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta).

Para a maioria das aplicações práticas, não é necessário inverter uma matriz para resolver um sistema de equações lineares; no entanto, para que haja uma solução única, é preciso que a matriz envolvida seja invertível.

Técnicas de decomposição tais como a decomposição LU são muito mais rápidas do que a inversão, e foram desenvolvidos diversos algoritmos para tipos especiais de sistemas lineares.

Inversão de matrizes 2×2[editar | editar código-fonte]

A equação de cofatores listada acima produz o seguinte resultado no caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2. A inversão dessas matrizes pode ser feita facilmente como segue:[3]

Logo, inverte-se a ordem dos elementos da diagonal principal e troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Isso é possível porque 1/(ad-bc) é o inverso do determinante da matriz em questão, e a mesma estratégia pode ser usada para matrizes de outros tamanhos.

Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan[editar | editar código-fonte]

Uma outra forma de determinar a inversa duma matriz é utilizando a eliminação de Gauss-Jordan .

Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. De seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade tornou-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:

Exemplo: Partimos da mesma matriz do exemplo anterior:

A última matriz é a inversa procurada:

Determinação da matriz inversa pela matriz adjunta[editar | editar código-fonte]

Existe uma maneira de calcular a matriz inversa utilizando-se da matriz adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores). Este método não é muito eficiente, porém pode vir a ser útil quando se conhece os determinantes das submatrizes.

Para calcular um cofator, utilizaremos da seguinte fórmula:

Onde i é a linha, j a coluna, e é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Após criarmos uma matriz de cofatores, calculamos sua adjunta, que nada mais é que a transposta da matriz de cofatores. Em linguagem matemática, temos:

e então aplicamos a seguinte fórmula:

então teremos a matriz inversa de A. Exemplo:

Seja :

Seus cofatores serão:

Então teremos a matriz de cofatores

e sua adjunta será a transposta dessa matriz, portanto:
e como temos:
.

Matriz em blocos[editar | editar código-fonte]

Estas fórmulas, desenvolvidas por Hans Bolz (1923) e Tadeusz Banachiewicz (1937), permitem inverter uma matriz escrita em forma de blocos:

ou:

Os blocos podem ser de qualquer tamanho, desde que A e D sejam matrizes quadradas.

Referências

  1. Wolfram Alpha. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html. Acesso em: 24 de junho de 2011.
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-19. 
  3. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. SIAM [S.l.] p. 71. ISBN 0-961-40889-8. , Chapter 2, page 71