Matrizes de Pauli

As matrizes de Pauli devem o seu nome a Wolfgang Ernst Pauli e são uma representação do grupo especial unitário SU(2). Têm a seguinte forma:

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Cumprem as regras de comutação do grupo SU(2):

$\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\varepsilon_{ijk} \sigma_k$

onde $\varepsilon_{ijk}$ é o Símbolo de Levi-Civita.

Outras propriedades importantes são:

$\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

$\operatorname{det} (\sigma_i) = -1$

$\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0$

As matrizes de Pauli têm grande utilidade na mecânica quântica. A aplicação mais conhecida é a representação do operador de spin para uma partícula de spin 1/2. Assim, tem-se

$\hat s_i\ = \frac{\hbar}{2}\sigma_i$