Matrizes de Pauli

Wolfgang Pauli (1900–1958) recebeu o Nobel de Física em 1945, nominado por Albert Einstein, pelo princípio de exclusão de Pauli.

Em matemática e em física matemática, as matrizes de Pauli formam um conjunto de três matrizes complexas 2x2 hermitianas e unitárias. Geralmente representadas pela letra grega sigma (σ), ou tau (τ) no contexto de simetrias de isospin. Elas são

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

Estas matrizes devem seu nome ao físico Wolfgang Pauli. Na mecânica quântica, elas ocorrem na equação de Pauli que descreve a interação do spin de uma partícula com um campo eletromagnético externo.

Cada matriz de Pauli é hermitiana $(\sigma _{i}=\sigma _{i}^{\dagger })$, e junto à matriz identidade (algumas vezes representada por $\sigma _{0}$), as matrizes de Pauli formam uma base (através de coeficientes reais) para o espaço vetorial das matrizes hermitianas 2x2.

Operadores hermitianos representam observáveis na mecânica quântica, de forma que as matrizes de Pauli geram o espaço de observáveis do espaço de Hilbert de dimensão dois. Na obra de Pauli, as $\sigma _{k}$ representam o observável correspondente à projeção do spin no eixo-k do espaço euclidiano tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$.

As matrizes de Pauli (após multiplicação por $i$para se tornarem anti-hermitianas), também geram transformações no sentido de álgebras de Lie: as $\{i\sigma _{k}\}$, ao serem exponenciadas, geram o grupo SU(2), ou seja, $\{i\sigma _{k}\}$ é uma base da álgebra de Lie ${\mathfrak {su}}(2)$. A álgebra gerada por $\{\sigma _{k}\}$é isomórfica à álgebra de Clifford do $\mathbb {R} ^{3}$.

Propriedades algébricas

As matrizes de Pauli obedecem às seguintes relações de comutação:$\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}$

onde $\varepsilon _{ijk}$ é o Símbolo de Levi-Civita.

Outras propriedades importantes são:

$\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

$\operatorname {det} (\sigma _{i})=-1$

$\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0$

As matrizes de Pauli têm grande utilidade na mecânica quântica. A aplicação mais conhecida é a representação do operador de spin para uma partícula de spin 1/2. Assim, tem-se

${\hat {s}}_{i}\ ={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$