Matrizes de Pauli

As matrizes de Pauli devem o seu nome a Wolfgang Ernst Pauli e são uma representação do grupo especial unitário SU(2). Têm a seguinte forma:

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$$\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Cumprem as regras de comutação do grupo SU(2):

$\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}$$\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}$

onde $\varepsilon _{ijk}$$\varepsilon _{ijk}$ é o Símbolo de Levi-Civita.

Outras propriedades importantes são:

$\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$$\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

$\operatorname {det} (\sigma _{i})=-1$$\operatorname {det} (\sigma _{i})=-1$

$\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0$$\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0$

As matrizes de Pauli têm grande utilidade na mecânica quântica. A aplicação mais conhecida é a representação do operador de spin para uma partícula de spin 1/2. Assim, tem-se

${\hat {s}}_{i}\ ={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$${\hat {s}}_{i}\ ={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$