Matrizes semelhantes

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Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas e são semelhantes (ou similares) se existir uma matriz invertível tal que:[1][2][3]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz é dita ser semelhante à matriz se, e somente se, existe uma matriz invertível tal que:[1][2]

[4].

Observamos que a definição exige que e sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.

Relação de equivalência[editar | editar código-fonte]

O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.:[1]

  1. (Reflexividade) Toda matriz é semelhante a si mesma;
  2. (Simetria) é semelhante a implica semelhante a ;
  3. (Transitividade) é semelhante a e é semelhante a implica semelhante a ;
Demonstração

1. Como , temos que é semelhante a .

2. Se , então com . Ou seja, é semelhante a implica semelhante a .

3. Se e , então com . Isto é, é semelhante a e é semelhante a implica semelhante a .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B matrizes semelhantes, então:[1][2][5]

  1. ;
  2. é invertível se e somente se também o for;
  3. e possuem o mesmo polinômio característico;
  4. e tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade;
  5. e têm o mesmo traço;
  6. e são semelhantes para todo .
  7. As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Propriedade 1.

Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então . Com efeito, temos que existe uma matriz invertível tal que . Pelas propriedades do determinante segue que:

Propriedade 2.

Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então é invertível se, e somente se, também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível tal que , ou equivalentemente, . Suponhamos que seja invertível. Então, afirmamos que é matriz inversa de . De fato:

e

.

Isto mostra que se é invertível, então é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.

Propriedade 3.

Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então e possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível tal que . Por definição, o polinômio característico de é dado por . Daí, segue que:

Isso conclui a demonstração.

Propriedade 4.

Segue imediatamente da propriedade 3.

Propriedade 5.

Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz é o coeficiente do termo de grau do seu polinômio característico.

Propriedade 6.

Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então e também são para todo número natural. Com efeito, existe uma matriz invertível tal que . Por indução em vemos que . Ou seja, , como queríamos demonstrar.

Propriedade 7.

Seja um operador linear sobre o espaço vetorial de dimensão finita com bases e . Sejam, então, e as matrizes de nas respectivas bases e , i.e.:

e

onde, denota a representação do vetor na base com notação análoga para . Seja, agora, a matriz de mudança da base para a base , i.e.:

.

Logo, temos:

.

Como a última igualdade é válida para todo , concluímos que e são matrizes semelhantes.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências bibliográficas

  1. a b c d Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622086. 
  2. a b c Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Cengage [S.l.] ISBN 9788522107445. 
  3. Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622093. 
  4. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  5. TELES, Joana; NUNES VICENTE, Luís Nunes Apontamentos de Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica, 2005 - acesso a 30 de Setembro de 2007