Mecânica clássica de Koopman-von Neumann

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A mecânica clássica de Koopman-von Neumann ou mecânica KvN, é uma descrição da mecânica clássica em termos do espaço de Hilbert, introduzida por Bernard Koopman e John von Neumann em 1931 e 1932.[1][2][3] Koopman e von Neumann demonstraram que um espaço de Hilbert de funções de onda quadráticas integráveis[4] e complexas pode ser definido de uma forma que a mecânica clássica pode ser formulada como uma teoria operativa semelhante à mecânica quântica.

Analogia quântica[editar | editar código-fonte]

Sendo explicitamente baseado na linguagem espacial de Hilbert, a mecânica clássica de KvN adota muitas técnicas da mecânica quântica, por exemplo, técnicas de diagrama[5] e perturbação, bem como métodos integrais funcionais[6][7] .[8] A abordagem KvN é muito geral, e foi estendida a sistemas dissipativos,[9] mecânica relativista[10] e teoria clássica de campos[11] .[12]

Propagação KvN vs propagação de Wigner
A evolução do tempo da função de onda KvN clássica para o potencial Morse[13]: . Os pontos negros são partículas clássicas seguindo a lei de movimento de Newton. As linhas sólidas representam o conjunto de níveis do Hamiltoniano . Este vídeo ilustra a diferença fundamental entre a mecânica KvN e Liouville. 
Contrapartida quântica da propagação KvN clássica à esquerda: A evolução do tempo de função de Wigner[14] do potencial Morse em unidades atômicas (a.u.). As linhas representam o conjunto de níveis do hamiltoniano subjacente. Note que a mesma condição inicial utilizada para esta propagação quântica, bem como para a propagação KvN à esquerda. 

Referências

  1. Koopman, B. O. (1931). «Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space». Proceedings of the National Academy of Sciences. 17 (5). 315 páginas. Bibcode:1931PNAS...17..315K. doi:10.1073/pnas.17.5.315 
  2. von Neumann, J. (1932). «Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik». Annals of Mathematics. 33 (3): 587–642. JSTOR 1968537. doi:10.2307/1968537 
  3. von Neumann, J. (1932). «Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..."». Annals of Mathematics. 33 (4): 789–791. JSTOR 1968225. doi:10.2307/1968225 
  4. G.Sansone (1991). Orthogonal Functions. [S.l.]: Dover Publications. pp. 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0 
  5. Liboff, R. L. (2003). Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions. [S.l.]: Springer. ISBN 9780387955513 
  6. Daniell, P. J. (Julho de 1919). «Integrals in An Infinite Number of Dimensions». The Annals of Mathematics. Second Series. 20 (4): 281–288. JSTOR 1967122. doi:10.2307/1967122 
  7. Gozzi, E. (1988). «Hidden BRS invariance in classical mechanics». Physics Letters B. 201 (4): 525–528. Bibcode:1988PhLB..201..525G. doi:10.1016/0370-2693(88)90611-9 
  8. Gozzi, E.; Reuter, M.; Thacker, W. (1989). «Hidden BRS invariance in classical mechanics. II». Physical Review D. 40 (10). 3363 páginas. Bibcode:1989PhRvD..40.3363G. doi:10.1103/PhysRevD.40.3363 
  9. Chruściński, D. (2006). «Koopman's approach to dissipation». Reports on Mathematical Physics. 57 (3): 319–332. Bibcode:2006RpMP...57..319C. doi:10.1016/S0034-4877(06)80023-6 
  10. Renan Cabrera; Bondar; Rabitz (2011). «Relativistic Wigner function and consistent classical limit for spin 1/2 particles». quant-ph. arXiv:1107.5139Acessível livremente 
  11. Bondar, D.; Cabrera, R.; Lompay, R.; Ivanov, M.; Rabitz, H. (2012). «Operational Dynamic Modeling Transcending Quantum and Classical Mechanics». Physical Review Letters. 109 (19). 190403 páginas. Bibcode:2012PhRvL.109s0403B. PMID 23215365. arXiv:1105.4014Acessível livremente. doi:10.1103/PhysRevLett.109.190403 
  12. Carta, P.; Gozzi, E.; Mauro, D. (2006). «Koopman–von Neumann formulation of classical Yang–Mills theories: I». Annalen der Physik. 15 (3). 177 páginas. Bibcode:2006AnP...518..177C. arXiv:hep-th/0508244Acessível livremente. doi:10.1002/andp.200510177 
  13. Girifalco, L. A.; Weizer, G. V. (1959). «Application of the Morse Potential Function to cubic metals». Phys. Rev. 114 (3). p. 687. Bibcode:1959PhRv..114..687G. doi:10.1103/PhysRev.114.687 
  14. E. P. Wigner (1932). «On the quantum correction for thermodynamic equilibrium». Phys. Rev. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv...40..749W. doi:10.1103/PhysRev.40.749 
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