Mecânica estatística

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A mecânica estatística (ou física estatística) é o ramo da física que, utilizando a teoria das probabilidades, estuda o comportamento de sistemas mecânicos macroscópicos compostos por um elevado número de entidades constituintes microscópicas a partir do comportamento destas entidades, quando seus estados são incertos ou indefinidos. Os constituintes podem ser átomos, moléculas, íons, entre outros. É uma teoria que relaciona um nível de descrição macroscópico (Termodinâmica) com um nível microscópico (Mecânica).[1] [2] [3]

O estudo de todos os microestados destes sistemas em toda a sua complexidade é pouco prático ou mesmo inviável. Para contornar essa dificuldade, a mecância estatística usa um conjunto de cálculos probabilísticos para a ocorrência dos diferentes microestados e atribuir uma série de vínculos matemáticos, como a hipótese de ergodicidade.

A mecânica estatística é usada para explicar, por exemplo, o funcionamento termodinâmico de grandes sistemas, sendo chamada então de termodinâmica estatística ou mecânica estatística de equilíbrio. Leis mecânicas microscópicas não contêm conceitos tais como a temperatura, o calor, ou entropia, no entanto, a mecânica estatística mostra como esses conceitos surgem da incerteza natural sobre o estado de um sistema quando esse sistema é preparado na prática. A vantagem de usar a mecânica estatística é que ela fornece métodos exatos para relacionar grandezas termodinâmicas (tais como a capacidade térmica) para comportamento microscópico, enquanto que na termodinâmica clássica a única opção disponível seria apenas medir e tabular tais quantidades para vários materiais. A mecânica estatística também torna possível estender as leis da termodinâmica para casos que não são considerados na termodinâmica clássica, tais como sistemas microscópicos e outros sistemas mecânicos com poucos graus de liberdade.[1]

A mecânica estatística também encontra uso fora do equilíbrio. Outra importante divisão é conhecida como mecânica estatística do não-equilíbrio, que lida com a questão de modelar microscopicamente a velocidade de processos irreversíveis que são movidos por desequilíbrios. Exemplos de tais processos incluem reações químicas ou fluxos de partículas e de calor. Ao contrário de com o equilíbrio, não há formalismo exato que se aplique a mecânica estatística do não-equilíbrio em geral, e por isso este ramo da mecânica estatística continua a ser uma área ativa de pesquisa teórica.

Histórico[editar | editar código-fonte]

Em 1738, o físico e matemático suíço Daniel Bernoulli publica seu estudo “Hydrodynamica” que lançou as bases para a teoria cinética dos gases. Neste trabalho, Bernoulli postulou o argumento, ainda em uso hoje em dia, que os gases consistem de um grande número de moléculas que se movem em todas as direções, que o impacto delas sobre uma superfície causa a pressão do gás que sentimos, e que o que entendemos como o calor é simplesmente a energia cinética do movimento das mesmas. [4]

Em 1859, depois de ler um artigo sobre a difusão de moléculas por Rudolf Clausius, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell de velocidades moleculares. Esta foi a primeira lei estatística em física.[5] Cinco anos mais tarde, em 1864, Ludwig Boltzmann, um jovem estudante em Viena, conhece a pesquisa de Maxwell e passa grande parte de sua vida desenvolvendo o assunto ainda mais.

A mecânica estatística foi iniciada na década de 1870 com os trabalhos de Boltzmann, com grande parte dele sendo publicado em 1896, na obra “Palestras sobre Teoria dos Gases”.[6] Os artigos originais de Boltzmann sobre a interpretação estatística da termodinâmica, o teorema H, teoria de transporte, o equilíbrio térmico, a equação de estado de gases e assuntos semelhantes, ocupam cerca de 2.000 páginas no acervo da Academia de Viena e outras sociedades. Boltzmann introduziu o conceito de um conjunto canônico estatístico de equilíbrio e também pesquisou pela primeira vez a mecânica estatística do não-equilíbrio, com seu teorema H.

Pode-se dizer que a mecânica estatística nasceu dos trabalhos de Maxwell e Boltzmann. Dos estudos sobre as partículas constituintes dos gases (átomos e moléculas) e dos níveis de energia resultou uma grande quantidade de informações sobre as grandezas macroscópicas baseadas somente nas grandezas microscópicas médias.

O termo "mecânica estatística" foi cunhado pelo físico matemático americano J. Willard Gibbs em 1884.[7] Pouco antes de sua morte, Gibbs publica em 1902 seu livro “Princípios Elementares em Mecânica Estatística”, formalizando a mecânica estatística como uma abordagem geral para atender todos os sistemas mecânicos - macroscópicas e microscópicas, gasosos ou não-gasosos.[1] Os métodos de Gibbs foram inicialmente derivados no quadro da mecânica clássica, no entanto, eles foram de tal generalidade que se adaptaram facilmente à mecânica quântica posterior, e ainda hoje formam a base da mecânica estatística.[2]

Princípios[editar | editar código-fonte]

Na física, existem dois tipos de mecânica normalmente examinados: a mecânica clássica e mecânica quântica. Para ambos os tipos de mecânica, a abordagem matemática padrão é considerar dois ingredientes:

  1. O estado completo do sistema mecânico em um determinado momento, matematicamente codificada como um ponto de fase (mecânica clássica) ou um vetor de estado quântico puro (mecânica quântica).
  2. Uma equação de movimento que leva o estado a frente no tempo: equações de Hamilton (mecânica clássica) ou a equação de Schrödinger dependente do tempo (mecânica quântica)

Usando estes dois ingredientes, o estado em qualquer outro momento, passado ou futuro, pode, em princípio, ser calculado. Há, porém, uma desconexão entre essas leis e as experiências prática, não sendo necessário, nem teoricamente possível, saber com exatidão a um nível microscópico as posições e velocidades simultâneas de cada molécula durante a realização de processos na escala humana, por exemplo, quando se realiza uma reação química. A mecânica estatística preenche essa desconexão entre as leis da mecânica e da experiência prática do conhecimento incompleto, adicionando alguma incerteza sobre qual estado o sistema está inserido, por meio da probabilidade.

Enquanto a mecânica comum considera apenas o comportamento de um único estado, a mecânica estatística introduz o ensemble estatístico, que é uma grande coleção de cópias do sistema, virtuais e independentes, em vários estados. O ensemble estatístico é uma distribuição de probabilidade sobre todos os possíveis estados do sistema. Na mecânica estatística clássica, o ensemble é uma distribuição de probabilidade sobre pontos de fases (em oposição a um único ponto de fase na mecânica tradicional), normalmente representado como uma distribuição num espaço de fase com coordenadas canônicas. Em mecânica estatística quântica, o ensemble é uma distribuição de probabilidade sobre estados puros, e pode ser resumido como uma matriz densidade.

O ensemble pode ser interpretado de duas maneiras:[1]

  1. Um ensemble pode ser considerado como a representação dos vários estados possíveis que um único sistema pode estar (probabilidade epistemológica), ou
  2. Os membros do ensemble podem ser entendidos como os estados dos sistemas em experiências repetidas em sistemas independentes, que foram preparados de um modo semelhante, mas imperfeitamente controlado (probabilidade empírica), no limite de um número infinito de ensaios

Estes dois entendimentos são equivalentes para fins diversos, e serão utilizados de maneira intercambiável neste artigo.

Em qualquer modo que a probabilidade é interpretada, cada estado no ensemble evolui ao longo do tempo de acordo com a equação de movimento. Assim, o próprio ensemble (a distribuição de probabilidade sobre estados) também evolui, com os sistemas virtuais do ensemble continuamente deixando um estado e entrando em outro. A evolução do ensemble é dada pela equação de Liouville (mecânica clássica) ou a equação de von Neumann (mecânica quântica). Estas equações são derivadas pela aplicação da equação de movimento mecânico separadamente para cada sistema virtual contido no ensemble, com a probabilidade do sistema virtual ser conservado ao longo do tempo à medida que evolui de estado para estado.

Uma classe especial de ensemble trata daqueles que não evoluem ao longo do tempo. Esses ensembles são conhecidos como ensembles de equilíbrio e a sua condição é conhecida como equilíbrio estatístico. O equilíbrio estatístico ocorre se, para cada estado no ensemble, o ensemble também contém todos os seus estados futuros e passados com probabilidades iguais à probabilidade de estar nesse estado. O estudo dos ensembles de equilíbrio de sistemas isolados é o foco da termodinâmica estatística. A mecânica estatística do não-equilíbrio aborda o caso mais geral de conjuntos que mudam ao longo do tempo, e/ou conjuntos de sistemas não-isolados.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A Propriedade central da mecânica estatística é a utilização de métodos estatísticos para a formulação de uma teoria cinética ,para átomos e moléculas, com o intuito de explicar as propriedades dos mesmos em um nível macroscópico da natureza.[8]

Um teorema chave é o valor médio da energia cinética das moléculas de um gás a uma certa temperatura T é

\frac{1}{2}k_{B}T (graus de liberdade).

A distribuição de Boltzmann é um resultado muito conhecido na física , que relaciona a Termodinâmica com a Mecânica Estatística.[8]

Exemplo

a distribuição de moléculas na atmosfera - desconsiderando ventos e que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Supondo que N é o número de moléculas total em um volume V de um gás ; a pressão P, então temos que:

PV = NRT , ou P = nkBT, onde n = N/V sendo o número de moléculas por unidade de volume. A temperatura sendo uma constante, a sua pressão será proporcional á sua densidade.

A pressão sobre uma camada h + dh deve ser tal a balancear o peso.

A variação de densidade em função da altitude se dá se tomarmos uma unidade de área com altura h sua força vertical será a força sobre a área sendo representado por P (pressão).

Um sistema em equilíbrio , suas forças nas moléculas deverão ser balanceadas ou nulas sendo h+dh a pressão feita na área inferior da camada que deve superar a pressão sobre a área de cima da camada assim balanceando com o peso.

sendo que mg é a força da gravidade em cada molécula, ndh é o número total das moléculas em cada área.[8] Com todas essas informações obtemos a equação diferencial que representa o equilíbrio

P_{h} + dh - P_{h} = dP = -mgndh

assim tendo P = nkBT e também T como constantes , eliminando-se P ficamos com a equação para n

\frac{dn}{dh} = {mg}{k_{B}T}n

Temos a variação da densidade em função da altura na atmosfera do exemplo.

n = n_{0} e^{-mgh/k_{B}T}, \qquad n_{0} \; \text{densidade em relação à} \; h = 0

a gráfico a seguir ilustra a densidade em relação à altura.

Densidade de átomos n em função da altura h

o numerador do expoente da equação anterior representa a energia potencial para cada átomo, sendo sua densidade em cada ponto igual a

e^{-\in/k_{B}T}

sendo que \in é a energia potencial de cada átomo.

Supondo que haja diversas forças em atuação nos átomos, exemplificando: sendo elas - as forças - carregadas e estejam sob forte influência de um campo elétrico ou haja atração entre elas.

Havendo um tipo apenas de molécula a força em uma porção de gás será a força sobre uma molécula \times o número de moléculas nessa mesma porção. Tendo que a força age na direção x. Semelhante em sua forma do problema da atmosfera, tomando dois planos paralelos no gás apenas separados por uma distância representada por dx, então a força sobre cada átomo vezes a densidade n vezes dx deve ser balanceada pela diferença de pressão, ou seja,

Fndx = dP = k_{b}T\;dn

sendo dW = -Fdx o trabalho feito sobre uma molécula ao transportá-la de x até x+dx, seu trabalho é igual á diferença de energia potencial (ao quadrado) >U assim,

dU = -Fdx

obtemos da equação de força anterior

\frac{dn}{n} = - \frac{dU}{k_{B}T}

resultando em

n = n_{0} e^{-U/k_{B}T}

U sendo a variação de energia do estado final e inicial.

Esta ultima expressão é tratada sendo a Lei de Boltzmann e pode ser interpretada assim: a probabilidade de encontrar moléculas em uma dada configuração espacial e tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura. Tal probabilidade diminui exponencialmente com a energia divida por kBT.

Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Conjunto microcanônico[editar | editar código-fonte]

Um conjunto microcanônico é um conjunto de réplicas de microssistemas identicamente preparados. Cada réplica tem os mesmos possíveis valores de massa(m), volume(V) e energia (E), mas cada uma pode evoluir diferentemente através do espaço de configurações. No conjunto microcanônico não há troca de calor entre o sistema e o exterior e o número de partículas é fixo.

Conjunto canônico[editar | editar código-fonte]

Semelhantemente, um conjunto canônico é um conjunto de réplicas de um sistema, identicamente preparados, onde cada um tem valores definidos de massa(m), volume(V) e temperatura(T). No conjunto canônico o número de partículas é fixo, mas o sistema se encontra em um banho térmico, ou seja, há troca de calor com o ambiente.

Conjunto grão-canônico[editar | editar código-fonte]

No conjunto grão-canônico o sistema pode trocar calor e partículas, ou seja, o número de partículas pode variar.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Salinas, Sílvio R. A (1999). Física estatística Editora da Universidade de São Paulo [S.l.] ISBN 8531403863. 
  • Huang, Kerson (1990). Statistical mechanics Wiley, John & Sons [S.l.] ISBN 0471815187. 
  • Reichl, L. E (1998). A modern course in statistical physics 2 ed. Wiley, John & Sons [S.l.] ISBN 0471595209. 

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics (New York: Charles Scribner's Sons). 
  2. a b Tolman, R. C. (1938). The Principles of Statistical Mechanics Dover Publications [S.l.] ISBN 9780486638966. 
  3. Balescu, Radu (1975). Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics John Wiley & Sons [S.l.] ISBN 9780471046004. 
  4. J. Uffink, "Compendium of the foundations of classical statistical physics." (2006)
  5. Mahon, Basil (2003). The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell (Hoboken, NJ: Wiley). ISBN 0-470-86171-1. OCLC 52358254. 
  6. Ebeling, Werner; Sokolov, Igor M. (2005). Statistical Thermodynamics and Stochastic Theory of Nonequilibrium Systems World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. [S.l.] pp. 3–12. ISBN 978-90-277-1674-3.  (section 1.2)
  7. J. W. Gibbs, "On the Fundamental Formula of Statistical Mechanics, with Applications to Astronomy and Thermodynamics." Proceedings of the American Association for the Advancement of Science, 33, 57-58 (1884). Reproduced in The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, Vol II (1906), pp. 16.
  8. a b c Feynman; Mathew Sands (2008). Lições de Física de Feynman Edição Definitiva, A ed. Bookman [S.l.] p. 1798. ISBN 9788577802593.