Mecanismo de Chebyshev

Chebyshev de ligação

O mecanismo de Chebyshev é um mecanismo que converte movimento de rotação em uma aproximação de movimento em linha reta.

Ele foi inventado no século XIX pelo matemático Pafnuty Chebyshev, que estudou problemas teóricos na cinemática de mecanismos. Um desses problemas foi a construção de uma ligação que converte um movimento de rotação em um movimento aproximado em linha reta. Este problema também foi estudado por James Watt em suas melhorias para o motor a vapor, resultando no mecanismo de Watt.

O mecanismo de linha reta restringe o ponto P – o ponto médio da barra L₃ – a mover-se em uma linha reta entre os dois extremos, na parte central do movimento. (L₁, L₂, L₃, e L₄ são mostrados na ilustração.) Entre os pontos extremos do movimento, o ponto P se desvia ligeiramente de uma linha reta perfeita. As proporções entre as barras são

$L_{1}:L_{2}:L_{3}=2:2.5:1=4:5:2.\,$

O ponto P está no centro de L₃. Esta relação garante que a barra L₃ fique na vertical quando está em um dos extremos de sua viagem.

Os comprimentos são relacionadas matematicamente como se segue:

$L_{4}=L_{3}+{\sqrt {L_{2}^{2}-L_{1}^{2}}}.\,$

Pode ser mostrado que, se tomadas as proporções descritas acima como comprimentos, então, para todos os casos,

$L_{4}=L_{2}.\,$

e isso contribui para a percepção de movimento em linha reta do ponto P.

Equações do movimento

O movimento da ligação pode ser restringido a um ângulo de entrada que pode ser alterado através de velocidades, forças, etc. O ângulo de entrada pode ser tanto entre a barra L₂ e a horizontal ou a barra L₄ e a horizontal. Independentemente do ângulo de entrada, é possível calcular o movimento do dois pontos extremos da barra L₃, que chamamos de A e B, e o ponto médio P.

$x_{A}=L_{2}\cos(\varphi _{1})\,$

$y_{A}=L_{2}\sin(\varphi _{1})\,$

enquanto o movimento do ponto B será calculado com o outro ângulo,

$x_{B}=L_{1}-L_{4}\cos(\varphi _{2})\,$

$y_{B}=L_{4}\sin(\varphi _{2})\,$

Finalmente, podemos escrever o ângulo de saída em termos do ângulo de entrada,

$\varphi _{2}=\arcsin \left[{\frac {L_{2}\,\sin(\varphi _{1})}{\overline {AO_{2}}}}\right]-\arccos \left({\frac {L_{4}^{2}+{\overline {AO_{2}}}^{2}-L_{3}^{2}}{2\,L_{4}\,{\overline {AO_{2}}}}}\right)\,$

Consequentemente, podemos escrever o movimento do ponto P, que é o ponto médio entre A e B.

$x_{P}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\,$

$y_{P}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}\,$

Ângulos de entrada

Ilustração dos limites

Os limites para o ângulo de entrada, em ambos os casos, são:

$\varphi _{\text{min}}=\arccos \left({\frac {4}{5}}\right)\approx 36.8699^{\circ }.\,$

$\varphi _{\text{max}}=\arccos \left({\frac {-1}{5}}\right)\approx 101.537^{\circ }.\,$

Veja também

Mecanismo Lambda de Chebyshev (um azul e um verde) mostra um movimento idêntico

• Mecanismo Lambda de Chebyshev
• Mecanismo de Watt, um mecanismo de linha reta semelhante  com a direção de um dos braços invertida.
• Mecanismo de linha reta
  
• Mecanismo de Scott Russell
• Mecanismo de Hoeckens (Mecanismo de quatro barras que converte movimento de rotação numa aproximação de movimento em linha reta)
• Mecanismo de Peaucellier–Lipkin (Mecanismo de oito barras que gera movimento linear perfeito)
• Mecanismo de quatro barras
  

Ligações externas

• Da universidade de Cornell, "Como desenhar uma linha reta, por A. B. Kempe, B. A."
• Uma simulação usando o software Molecular Workbench
• Geogebra: simulação do mecanismo