Medida (matemática)

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Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+)[editar | editar código-fonte]

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função tal que:

  • , para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis).

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

  • Não-negatividade:

Prova:

  • Monotonicidade
Prova:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

  • Medida de Dirac:


  • As medidas de Borel e de Lebesgue em verificam a propriedade

Medida complexa[editar | editar código-fonte]

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:

  • , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

  • Medida completa:
Se tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
  • Medida invariante por translações:
, onde

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

  • Medida de Borel:
Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
  • Regularidade interior:
e são compactos.
  • Regularidade exterior:
e são abertos.
  • Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.
  • Medida finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
  • Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita
, para todo compacto


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