Medida (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita nenhuma fonte ou referência, o que compromete sua credibilidade (desde Fevereiro de 2011).
Por favor, melhore este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto por meio de notas de rodapé. Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoScirusBing. Veja como referenciar e citar as fontes.

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+)[editar | editar código-fonte]

Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função \mu:X\to[0,\infty)\,\! tal que:

Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

  • Não-negatividade:
\mu(E)\ge 0,~~\forall E\in X\,
  • Monotonicidade
A\subseteq B\Longrightarrow \mu(A) \leq \mu(B),~~~\forall A,B \in X\,

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \mu(E)=\left\{
\begin{array}{ll}
0,&E=\emptyset\\
1,&E=S
\end{array}
\right.

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

  • Medida de Dirac:
\delta_{x_0}(E)=\left\{
\begin{array}{ll}
1,&x_0\in E\\
0,&c.c.
\end{array}
\right.


Medida complexa[editar | editar código-fonte]

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função \mu:X\to\mathbb{C}\,\! tal que:

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\, define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de \mathbb{R}.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

  • Medida completa:
Se Z\, tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
  • Medida invariante por translações:
\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,, onde A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

  • Medida de Borel:
Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
  • Regularidade interior:
\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X e K\, são compactos.
  • Regularidade exterior:
\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X e V\, são abertos.
  • Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.
\mu(S)<\infty\,
  • Medida \sigma-finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
S=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n,~~\mu(E_n)<\infty
  • Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita
\mu(K)<\infty\,, para todo compacto K\,


Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração