Medida de probabilidade

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Em matemática, uma medida de probabilidade é uma função real definida em um conjunto de eventos em um espaço de probabilidade que satisfaz propriedades de medida, tal como a aditividade contável.[1] A diferença entre uma medida de probabilidade e a noção mais geral de medida (que inclui conceitos como área ou volume) é que a medida de probabilidade de atribuir valor ao espaço de probabilidade inteiro.

Intuitivamente, a propriedade de aditividade diz que a probabilidade atribuída à união de dois eventos disjuntos pela medida deve ser a soma das probabilidades dos eventos, por exemplo, o valor atribuído a " ou " em um lançamento de um dado deve ser a soma dos valores atribuídos a "" e "".[2]

Medidas de probabilidade têm aplicações em diversos campos, como física, finanças e biologia.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, a física estatística usa medidas de probabilidade, mas nem todas as medidas que usa são medidas de probabilidade.[3][4]

Para que uma função seja uma medida de probabilidade em um espaço de probabilidade:

  • deve retornar resultados no intervalo unitário , retornando para o conjunto vazio e para o espaço inteiro;
  • deve satisfazer a propriedade da aditividade contável, sendo que para todas as coleções contáveis de conjuntos disjuntos dois a dois:

Por exemplo, dados três elementos , e com probabilidades , e , o valor atribuído a é , como no diagrama à direita.[5]

A probabilidade condicional baseada na intersecção dos eventos definida como

satisfaz as exigências de medida de probabilidade, desde que não seja igual a .[6]

Medidas de probabilidade são distintas da noção mais geral de medidas difusas, na qual não há qualquer exigência de que a soma dos valores difusos seja igual a e a propriedade aditiva é substituída por uma relação de ordem baseada na inclusão de conjunto.

Aplicações de exemplo[editar | editar código-fonte]

Uma medida de probabilidade mapeando o espaço de probabilidade para 3 eventos ao intervalo unitário.

Medidas de mercado que atribuem probabilidade a espaços do mercado financeiro com base em movimentos reais de mercado são exemplos de medidas de probabilidade que são de interesse em matemática financeira, por exemplo, na precificação de derivativos financeiros.[7] Por exemplo, uma medida neutra a risco é uma medida de probabilidade que assume que o valor atual dos ativos é o valor esperado do retorno futuro assumido em relação à mesma medida neutra a risco (isto é, calculado usando a função densidade neutra a risco correspondente) e descontado na taxa livre de risco. Se houver uma única medida de probabilidade que deve ser usada para precificar ativos em um mercado, então o mercado é chamado de mercado completo.[8]

Nem todas as medidas que intuitivamente representam probabilidade ou verossimilhança são medidas de probabilidade. Por exemplo, embora o conceito fundamental de um sistema em mecânica estatística seja um espaço de medidas, tais medidas não são sempre medidas de probabilidade.[3] Em geral, em física estatística, se considerarmos sentenças da forma "a probabilidade de um sistema assumir um estado é ", a geometria do sistema não leva sempre à definição de uma medida de probabilidade sob congruência, ainda que possa fazer isto no caso de sistemas com apenas um grau de liberdade.[4]

Medidas de probabilidade também são usadas em biologia matemática.[9] Por exemplo, em análise de sequência comparativa, uma medida de probabilidade pode ser definida para a verossimilhança de que uma variante possa ser permissível para um aminoácido em uma sequência.[10]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Roussas, George (2005). An introduction to measure-theoretic probability. Amsterdam: Elsevier Academic Press. ISBN 0125990227. OCLC 787847128. Consultado em 7 de março de 2018 
  2. Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure 3 ed. New York: Wiley. ISBN 9780471007104. OCLC 30735805. Consultado em 7 de março de 2018 
  3. a b Bamberg, Paul (1991). A course in mathematics for students of physics 1 ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521406501. OCLC 26634254. Consultado em 7 de março de 2018 
  4. a b Guttmann, Yair M. (1999). The concept of probability in statistical physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521621283. OCLC 39786737. Consultado em 7 de março de 2018 
  5. Ash, Robert B. (2000). Probability and measure theory 2 ed. San Diego: Harcourt/Academic Press. ISBN 0120652021. OCLC 42622245. Consultado em 7 de março de 2018 
  6. Gray, Robert M. (2009). Probability, random processes, and ergodic properties 2 ed. Dordrecht: Springer. ISBN 1441910891. OCLC 656394902. Consultado em 7 de março de 2018 
  7. Tavella, Domingo (2002). Quantitative methods in derivatives pricing: an introduction to computational finance. Hoboken, N.J.: Wiley. ISBN 0471394475. OCLC 52389254. Consultado em 7 de março de 2018 
  8. Boyarchenko, Svetlana (2007). Irreversible decisions under uncertainty: optimal stopping made easy. Berlin: Springer. ISBN 3540737456. OCLC 166372535. Consultado em 7 de março de 2018 
  9. Logan, J. David (2009). Mathematical methods in biology. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 0470525878. OCLC 317456951. Consultado em 7 de março de 2018 
  10. Eisenhaber, Frank (2006). Discovering biomolecular mechanisms with computational biology. Georgetown, Texas: Landes Bioscience/Eurekah.com. ISBN 0387345272. OCLC 67282595. Consultado em 7 de março de 2018