Medida espectral

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Na matemática, particularmente em análise funcional a Medida espectral é uma função definida em certos subconjuntos de um conjunto fixo no qual todos os valores possíveis são operadores autoadjuntos no espaço de Hilbert.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma medida espectral num espaço mensurável (X, M), onde M é uma σ-álgebra de subconjuntos de X, é um mapeamento π de M para o conjunto de projeções autoadjuntas num espaço de Hilbert H de forma que

e para todo ξ, η ∈ H, o conjunto função

é uma medida complexa em M (que é, uma função de adição sigma de um valor complexo). Nós denotamos tal medida por .

Se π é uma medição espectral e

Então π(A), π(B) são projeções ortogonais. A partir disto obtemos,

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Suponha que (X, M, μ) seja uma medida espacial. Deixemos π(A) ser um operador de multiplicação pela função indicadora no . Então π é uma medição espectral.

Extensões da medição espectral[editar | editar código-fonte]

Se π é uma aditivo na medida espectral em (X, M), então o mapeamento

estende de um mapeamento linear num espaço vectorial de funções escalonadas em X. De facto, é facilmente verificável que este mapeamento é um homomorfismo de anéis. E este mapeamento estende de uma forma canônica para todos valores complexos em X.

Teorema[editar | editar código-fonte]

Para qualquer M funções limitadas medíveis f em X, existe um único operador linear limitado tal que

para qualquer ξ, η ∈ H. O mapeamento

é um homomorfismo de anéis.

Estrutura da medição espectral[editar | editar código-fonte]

Primeiro nós daremos um exemplo geral da medida espectral baseada na integral direta.

Suponha que (X, M, μ) seja uma medida espacial e deixemos que {Hx}xX sejam uma família de espaços de Hilbert separáveis. Para todo AM, tomemos π(A) como um operador de multiplicação por no espaço de Hilbert.

Então π é uma medição espectral em (X, M).

Suponha que π, ρ são medições espectrais em (X, M) com valores as projeções de H, K. π, ρ são unitariamente equivalentes se e somente se existe um operador unitário tal que

para todo AM.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

A ideia por trás da medição espectral é generalizada pela medição espectral positiva, onde a necessidade da ortogonalidade implícita pelos operadores de projeção é trocada pela ideia de um conjunto de operadores que é uma partição da unidade não ortogonal. Esta generalização foi motivada pelas aplicações da teoria de informação quântica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • Mackey, G. W (1976). The Theory of Unitary Group Representations The University of Chicago Press [S.l.] 
  • Varadarajan, V. S (1970). Geometry of Quantum Theory V2 Springer Verlag [S.l.]