Modelagem matemática

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A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharias. Ou seja, modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de descrever matematicamente um fenômeno.

Além desses aspectos a Modelagem matemática pode ser utilizada para o Ensino de Matemática, nesse sentido, a modelagem é concebida como uma estratégia de ensino. Para Costa (2018)[1] Modelagem pode ser compreendida como uma metodologia de ensino que possibilita ao estudante abordar conteúdos matemáticos a partir de fenômenos de sua realidade, e tem como objetivo explicar matematicamente situações do cotidiano, das mais diferentes áreas da Ciência, com o propósito de educar matematicamente. Ela permite uma inversão do “modelo comum” de ensino, visto que, por meio da modelagem selecionam-se primeiramente os problemas e deles emergem os conteúdos matemáticos, de modo a resolvê-los.

Para quem utiliza essa metodologia de ensino fica perceptível que sua principal característica é promover situações em que os estudante a assimile conhecimentos matemáticos a partir de situações reais. No entanto, há diferentes concepções sobre como aplicar a Modelagem no ensino.

Para Costa (2016)[2] Existem dois modos para realizar a modelagem em sala de aula, uma é que os fenômenos estudados devem partir dos alunos e o outro que esses podem partir do professor (e/ou) alunos, no entender desse autor existem pontos positivos e negativos em cada uma das escolhas. No caso da escolha do tema gerador partindo do aluno entende-se que ele se sentirá mais envolvido no processo de ensino-aprendizagem, pois o tema partiu de suas escolhas, mas entende-se que nesse caso o tema pode gerar uma matemática que não é próxima ao conhecimento da turma.

Já a escolha partindo do professor o tema gerador é conhecido por ele e deste modo, espera-se que o conceito matemático a ser ensinado seja próximo aos conhecimentos dos estudantes, mas por a escolha ter partido do professor os estudantes podem não se envolver tanto na realização da atividade. Entende-se que com a o ensino na perspectiva da modelagem matemática não existe mais um currículo neutro, descontextualizado e sem significado, pois ele parte de fenômenos presente na realidade do estudante, nesse caso o ensino e constantemente reconstruído pelos professores e estudantes.

Sadovsky (2010, p. 103)[3] considera que frequentemente os professores afirmam que “a matemática está em toda parte” para convencer seus alunos da importância de seu estudo. Embora seu estudo seja, sim, relevante, a Matemática não é visível em toda parte. A frase “soa” tão distante da experiência dos estudantes, que dificilmente será capaz de motivá-los de alguma maneira interessante para o ensino.

Assim acredita-se que com a modelagem podemos ensinar Matemática de modo que os alunos percebam a matemática no seu cotidiano, deste modo, eles podem perceber que realmente a matemática está em toda parte.

Modelagem Matemática está diretamente relacionada com a resolução de problemas e com os procedimentos. O fim da Modelagem é ter um modelo matemático que seja a solução do problema inicial. Na Educação Básica, a Modelagem é vista como uma alternativa pedagógica na qual é utilizada uma situação problema real ou da própria Matemática. Alguns aspectos são importantes no desenvolvimento dos trabalhos com modelagem: investigação autônoma (trabalho em grupo), ciclo de modelagem e temas do mundo real. A ideia é fazer modelagem para aprender matemática, ou seja, os Modelos Matemáticos precisam ser significativos com situações-problemas úteis e possíveis de serem resolvidas e discutidas.


Dentre as diferentes formas e métodos de modelagem tem-se a modelagem via autômatos celulares e equações diferenciais, parciais ou ordinárias. A modelagem matemática via equações diferenciais tem um papel de enorme destaque, visto que tal técnica tem sido utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII por Malthus e Verhulst,no final dos anos 1700 [4]. Então, pode-se dizer que um modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem matemática. [5].

Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas eletricos e as leis de Newton para mecânicos) ou dados experimentais.

Frequentemente, os modelos atingem grau de sofisticação suficiente para justificar ferramentas computacionais, envolvendo sistemas de equações diferenciais. Softwares como MATLAB e Scilab contam com recursos focados nas soluções de tais modelos.

Metodologia para estudo de um modelo matemático[editar | editar código-fonte]

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais é, normalmente, feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Então, tal modelo matemático será também composto por parâmetros (constantes), que são intrínsecas ao sistema a ser estudado; variáveis que afetam o sistema, porém o modelo não foi designado para estudar seu comportamento (variáveis independentes) e as variáveis as quais o modelo foi designado para estudar (variáveis dependentes). Quando o sistema em questão busca retratar um fenômeno que consiste na interação entre duas ou mais entidades, então a modelagem é feita através de um sistema de equações diferenciais [5]. O modelo Lotka-Volterra (ou presa-predador), por exemplo, desenvolvido na década de 1920, é dado por:

Em que e são os parâmetros, e são as variáveis dependentes, respectivamente a população de presas e predadores e é a variável independente, o tempo neste caso. Para se estudar um modelo matemático de equações diferenciais, de uma maneira geral, devem ser seguidos alguns passos:

Consiste em fazer e , resolver o sistema resultante e obter os valores de e no equilíbrio, ou seja, quanto as respectivas taxas de variação são zero;

  1. Para autovalores reais, o ponto será estável se todos os autovalores forem menores que zero, instável se todos forem maiores que zero e ponto cela se apresentarem ambas as situações;
  2. Para autovalores complexos, o ponto será uma espiral estável se os autovalores tiverem a parte real negativa, espiral instável se a parte real for positiva e um centro se a parte real for nula.

Dificuldades e aplicações[editar | editar código-fonte]

Os modelos matemáticos apresentam uma série de aspectos úteis do ponto de vista científico. Além de apresentar naturalmente uma linguagem concisa, que pode vir a facilitar sua manipulação, um modelo matemático traz também aspectos como a possibilidade de confirmar ou rejeitar determinadas hipóteses relacionadas a complexos sistemas, revelar contradições em dados obtidos e/ou hipóteses formuladas, prever o comportamento de um sistema sob condições não testadas ou ainda não “testáveis”, dentre outros [5].

Por outro lado, quanto maior é a proximidade do modelo com a realidade, mais complexo será o modelo. Isto significa um maior numero de parâmetros e conseqüentemente uma maior dificuldade tanto na obtenção de dados a partir do modelo quanto na interpretação desses dados gerados pelo modelo em questão.

Modelos simples são mais fáceis de lidar, porém modelos mais sofisticados são frequentemente necessários. É importante ressaltar que as previsões do comportamento de um determinado modelo matemático, caso se faça necessário dependendo de sua complexidade, se dão através de simulações computacionais do mesmo. Caso o modelo seja suficientemente simples, teorias matemáticas são eficientes ferramentas para se obter conclusões gerais. Então, pode-se dizer que ao desenvolver um modelo matemático busca-se um ponto ótimo entre a representação da realidade e a complexidade do modelo, para que a obtenção de resultados coerentes seja possível, bem como sua interpretação. Segundo Howard Emmons, “o desafio em modelagem matemática não é produzir os modelos descritivos mais compreensíveis, mas sim produzir modelos suficientemente simples que incorporam as principais características do fenômeno em questão”. Portanto, a modelagem matemática ajuda a evitar ou reduzir a necessidade de gastos excessivos em experimentos, ou até mesmo simular experimentos impossíveis de serem realizados na prática.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Vamos estudar, neste exemplo o comportamento do sistema Lotka-Volterra. O sistema Lotka-Volterra apresenta uma tendência de oscilar, como tem sido observado a mais de um século atrás.

Antes de chegar às equações do modelo, é interessante levantar algumas considerações feitas por Volterra de modo a simplificar o sistema[4]:

  1. As presas crescem de uma maneira ilimitada quando os predadores não as mantêm sob controle;
  2. Os predadores dependem da presença de suas presas para sobreviverem;
  3. A taxa de predação depende da probabilidade com a qual a vítima é encontrada pelo predador;
  4. A taxa de crescimento da população de predadores é proporcional à comida ingerida por eles (taxa de predação).

Feitas essas considerações, o modelo é dado por:

Em que:

  • o termo está associado à probabilidade de encontro entre presas e predadores;
  • a razão é análoga à eficiência de predação, isto é, a eficiência de converter uma unidade de presa em uma unidade de predador.

Visto isso, podemos começar o estudo do comportamento do modelo:

  • Obtenção dos pontos de equilíbrio:


Das equações acima, temos


Então, os pontos de equilíbrio serão:
e

  • Matriz jacobiana do sistema:



  • Análise de estabilidade:


Para o ponto , temos:


Os autovalores são:
.
e .
Portanto, o ponto é um centro.

Para o ponto , temos:


Os autovalores são:
.
e .
Portanto, o ponto é um ponto de sela.

Ao observar o ponto , nota-se que o equilíbrio das presas é independente da sua própria taxa de crescimento ou mortalidade, visto que . Esta observação vale também para o ponto , com relação aos predadores.


Referências

  1. Costa, Felipe De Almeida; Igliori, Sonia Barbosa Camargo (19 de abril de 2018). «Estudo da periodicidade a partir da modelagem matemática à luz da Teoria da Aprendizagem Significativa». Revista de Produção Discente em Educação Matemática. ISSN 2238-8044. 7 (1). ISSN 2238-8044 
  2. Costa, Felipe de Almeida (3 de agosto de 2016). «ENSINO MATEMÁTICA POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA». Ensino da Matemática em Debate (ISSN 2358-4122). 3 (1). ISSN 2358-4122 
  3. SADOVSKY, Patricia (2010). O ensino da Matemática hoje: enfoques, sentidos e desafios. São Paulo: Ática. 168 páginas 
  4. a b Eldestein-Keshet, L., 1988. Mathematical Models in Biology, Random House, New York.
  5. a b c Adam, J. A. and Bellomo N.,1997. A Survey of Models for Tumor-Immune System Dynamics, Birkhauser Boston.


Ver também[editar | editar código-fonte]