Movimento browniano geométrico

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Dois caminhos de exemplo do movimento Browniano geométrico, com parâmetros diferentes. A linha azul tem maior deriva, a linha verde tem maior variância.

Um movimento browniano geométrico (MBG) (também conhecido como movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico de tempo contínuo no qual o logaritmo da quantidade aleatoriamente variável segue um movimento Browniano (também chamado de processo de Wiener), com deriva estocástica.[1] É um exemplo importante de processos estocásticos que satisfazem uma equação diferencial estocástica (EDE); em particular, é usado em matemática financeira para o modelar os preços das ações no modelo Black–Scholes.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Um processo estocástico St é dito seguir um MBG se ele satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica (EDE):

onde é um processo de Wiener ou movimento Browniano, e ("percentage drift" ou "percentagem de deriva") e ("percentage volatility" ou "percentagem de volatilidade") são constantes.

O primeiro é utilizado para modelar tendências determinísticas, enquanto o último termo é muitas vezes usado para modelar um conjunto de eventos imprevisíveis que ocorrem durante este movimento.

Solução da EDE[editar | editar código-fonte]

Para um valor arbitrário inicial S0 a EDE possui uma solução analítica (sob o cálculo de Itō):

.

Para chegar a essa fórmula, dividiremos a EDE, por  a fim de que nossa variável aleatória escolhida tenha apenas um lado. A partir daí podemos escrever a equação anterior na forma da integral de Itō:

.

Claro, aparenta ser relacionado à derivada de . No entanto, é um processo de Itō que requer o uso do cálculo de Itō. A aplicação da fórmula de Itō leva a:

onde é a variação quadrática da EDE. Isso também pode ser escrito como ou . Neste caso, temos:

.

Substituindo o valor de na equação acima e simplificando obtemosː

.

Tomando a exponencial e multiplicando ambos os lados por dá a solução reivindicada acima.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A solução acima (para qualquer valor de t) é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado e variância dada porː[2]

,
,

isto é a função de densidade de probabilidade de uma St é:

.

Quando se derivam outras propriedades do MBG, pode-se fazer uso da EDE de que o MBG é a solução, ou a solução explícita dada acima pode ser utilizada. Por exemplo, considere o processo estocástico de log(St). Este é um interessante processo, porque no modelo de Black–Scholes ela está relacionada com o log-retorno do preço das ações. Usando o cálculo de Itō com f(S) = log(S) dáː

Segue-se que .

Este resultado também pode ser obtido aplicando-se o logaritmo para a solução explícita do MBG:

Tomando a expectativa produz o mesmo resultado acima: .

Versão multivariada [editar | editar código-fonte]

O MBG pode ser estendido para o caso em que há múltiplos caminhos de preços correlacionados.

Cada trajetória de preço segue o processo subjacente

,

Onde os processos de Wiener estão correlacionados de modo que onde .

Para o caso multivariado, isso implica que

.

Uso em finanças[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Black-Scholes

O movimento geométrico browniano é usado para modelar os preços das ações no modelo Black-Scholes e é o modelo mais utilizado no comportamento do preço das ações.[3]

Alguns dos argumentos para usar o MBG para modelar os preços das ações são:

  • Os retornos esperados do MBG são independentes do valor do processo (preço das ações), o que está de acordo com o que seria esperado na realidade.[3]
  • O MBG só assume valores positivos, assim como os preços das ações reais.
  • O MBG mostra o mesmo tipo de "rugosidade" em seus caminhos como vemos nos preços das ações reais.
  • Cálculos com MBG são relativamente fáceis.

No entanto, MBG não é um modelo completamente realista, em particular, fica aquém da realidade nos seguintes pontos:

  • Nos preços das ações reais, a volatilidade muda ao longo do tempo (possivelmente estocasticamente), mas no MBG, a volatilidade é assumida constante.
  • Na vida real, os preços das ações geralmente mostram saltos causados ​​por eventos ou notícias imprevisíveis, mas no MBG, o caminho é contínuo (sem descontinuidade).

Extensões[editar | editar código-fonte]

Em uma tentativa de fazer o MBG mais realista, como um modelo para os preços das ações, pode-se descartar a suposição de que a volatilidade () é constante. Se partirmos do princípio de que a volatilidade é uma função determinística do preço das ações e do tempo, isso é chamado de modelo de volatilidade local. Se, em vez disso, assumimos que a volatilidade tem uma aleatoriedade própria — muitas vezes descrita por uma equação diferente, impulsionado por um Movimento Browniano diferente — o modelo é chamado de  modelo de volatilidade estocástica.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Ross, Sheldon M. (2014). «Variations on Brownian Motion». Introduction to Probability Models 11th ed. Amsterdam: Elsevier. pp. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9 
  2. Oksendal, Bernt K. (2002), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, ISBN 3-540-63720-6, Springer 
  3. a b Hull, John (2009). «12.3». Options, Futures, and other Derivatives 7 ed. [S.l.: s.n.] 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]