Nó de trevo

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Nó de trevo
Blue Trefoil Knot.png
Invariante de Arf 1
Tamanho da trança 3
Número da trança 2
Número de pontes 2
Número de crosscaps 1
Número de cruzamentos 3
Gênero 1
Volume hiperbólico 0
Número de sticks 6
Número de túneis 1
Número de unknotting 1
Notação Conway [3]
Notação A-B 31
Notação Dowker 4,6,2
Anterior / Próximo 01 / 41
Outros
alternante, toro, fibrado, pretzel, primo, fatia, reversível, tricolorível, torcido
Como fazer um nó de trevo (vídeo)

Nó de trevo (ou nó trifólio) é o exemplo mais simples de um não trivial. Pode ser obtido juntando as duas extremidades, resultando em um laço atado. Como o nó simples, o nó de trevo é fundamental para o estudo da teoria dos nós matemática, onde tem diversas aplicações em topologia e geometria.[1]

O nó tem esse nome por causa de sua semelhança com folhas do trevo.

Descrição[editar | editar código-fonte]

O nó de trevo pode ser definido com as seguintes equações paramétricas:

Qualquer deformação contínua da curva acima também é considerada um nó de trevo. Especificamente, qualquer curva isotópica a um nó de trevo é também considerada um nó de trevo. Além disso, a imagem espelhada (ou especular) de um nó de trevo também é considerada como um trevo. Na topologia e na teoria dos nós, o trevo é geralmente definido usando um diagrama de nó em vez de uma equação paramétrica explícita.

Na geometria algébrica, o trevo também pode ser obtido como a intersecção em C2 da esfera tridimensional unitária S3 com a curva plana complexa de zeros do polinômio complexo z2 + w3 (uma parábola semicúbica).

Left-handed trefoil
Right-handed trefoil
Um trevo canhoto e um trevo destro.

Se uma extremidade de uma fita (ou faixa) é virada três vezes e, em seguida, colada na outra, o bordo do papel forma um nó de trevo.[2]

Simetria[editar | editar código-fonte]

O nó de trevo é quiral, no sentido de que um nó de trevo pode ser distinguido de sua própria imagem espelhada. As duas variantes resultantes são conhecidas como o trevo canhoto e o trevo destro. Não é possível deformar um trevo canhoto continuamente em um trevo destro, ou vice-versa. (Ou seja, os dois trevos não são isotópicos.) Embora o nó de trevo seja quiral, é também invertível, significando que não há nenhuma distinção entre um trevo orientado no sentido anti-horário e um trevo orientado no sentido horário. Ou seja, a quiralidade de um trevo depende apenas da forma como se dão os cruzamentos, não da orientação da curva.

Nó de mão torna-se um nó trevo juntando as extremidades.

Não trivialidade[editar | editar código-fonte]

O nó de trevo não é trivial, o que significa que não é possível "desatar" um nó de trevo em três dimensões sem cortá-lo. Do ponto de vista matemático, isso significa que um nó de trevo não é isotópico a um círculo, que é o nó trivial. Em particular, não há nenhuma seqüência de movimentos de Reidemeister que irá desatar um trevo.

Provar isso requer a construção de um invariante de nós que distinga o trevo do nó trivial. O invariante mais simples que faz isso a propriedade de ser ou não tricolorizável: o trevo é tricolorizável, mas o nó trivial não é. Além disso, praticamente todos os invariantes polinomiais de nós distinguem o trevo de um nó trivial, assim como a maioria dos invariantes de nós relevantes.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos nós, o trevo é o primeiro nó não trivial, e é o único nó com três cruzamentos. É um nó primo, e é listado como 3_1 na notação de Alexander-Briggs. A notação de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notação de Conway para o trevo é [3].

O trevo pode ser descrito como o nó toral (2,3). É também o nó obtido pelo fechamento da trança σ13.

O trevo é um nó alternado. No entanto, não é um nó de fatia, o que significa que ele não limita um disco bidimensional suave na bola de quatro dimensões; uma maneira de provar isso é notar que sua assinatura não é zero. Outra prova é que seu polinômio de Alexander não satisfaz a condição de Fox-Milnor.

O trevo é um nó fibrado, o que significa que seu complemento em é um feixe de fibras sobre o círculo . No modelo do trevo como o conjunto de pares de números complexos tais que e , esse feixe de fibras tem o mapa de Milnor como sua fibração, e um toro com um furo como sua superfície de fibra.

Invariantes[editar | editar código-fonte]

O polinômio de Alexander do nó de trevo éː

e o polinômio de Conway éː

[3]

O polinômio de Jones éː

e o polinômio de Kauffman do trevo éː

O grupo de nó do trevo é dado pela apresentação

ou, equivalentemente,

[4]

Esse grupo é isomórfico ao grupo de tranças com três cordas.

Na religião e na cultura[editar | editar código-fonte]

Como o mais simples nó não trivial, o nó de trevo é um motivo comum na iconografia e artes visuais. Por exemplo, a forma comum do símbolo de triquetra é um trevo, como são algumas versões do Valknut.

Galeria de Fotos[editar | editar código-fonte]

Veja Também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. «Trefoil Knot» (em inglês). Consultado em 30 de setembro de 2014. 
  2. Shaw, George Russell (MCMXXXIII). Knots: Useful & Ornamental, p.11. ISBN 978-0-517-46000-9.
  3. «3 1 - Knot Atlas». katlas.math.toronto.edu (em inglês). Consultado em 6 de fevereiro de 2017. 
  4. Eric W. Weisstein, Trefoil Knot em MathWorld Accessed: May 5, 2013.

Links Externos[editar | editar código-fonte]