Número algébrico

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Em matemática, um número algébrico é qualquer número real ou complexo que é solução de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros. Em um sentido mais amplo, diz-se que um número é algébrico sobre um corpo quando ele é raiz de um polinômio com coeficientes neste corpo.

Todos os números racionais são algébricos porque qualquer fracção do tipo a/b é solução de bx-a=0. Alguns números irracionais como √2 e 3^{1/3}/2 são também algébricos, porque são as soluções de x^2-2=0 e 8x^3-3=0, respectivamente. Mas nem todos os reais são algébricos – como exemplo refiram-se π e e. A um número complexo não algébrico dá-se o nome de número transcendente.

Se um número algébrico for solução de uma equação de grau n com coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior, diz-se que é um número algébrico de grau n.

O corpo dos números algébricos[editar | editar código-fonte]

A soma, subtração, produto e quociente de dois números algébricos é novamente um número algébrico, logo eles formam um corpo. Pode-se mostrar que as soluções de equações polinomiais com coeficientes algébricos são novamente números algébricos. Posto de outro modo, o corpo dos números algébricos é algebricamente fechado De facto, é o menor corpo algebricamente fechado que contém os racionais, pelo que é a aderência algébrica do corpo dos números racionais.

Números definidos por radicais[editar | editar código-fonte]

Todos os números que possam ser escritos usando uma forma finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões, e raízes de grau n (n inteiro positivo) são algébricos. O contrário, no entanto, não é verdadeiro, pois há expressões algébricas que não podem ser representadas dessa maneira. Todos esses números podem ser vistos como soluções para equações polinomiais de grau ≥ 5. Isto é o que diz a Teoria de Galois.

Inteiros algébricos[editar | editar código-fonte]

Um número algébrico que é raiz de uma equação polinomial de grau n, com coeficientes inteiros, onde o coeficiente do termo de grau n é igual a 1 diz-se um inteiro algébrico. Por exemplo, 32+5 e 6i-2 são inteiros algébricos.

A soma, a diferença e o produto de inteiros algébricos é novamente um inteiro algébrico; por outras palavras, os inteiros algébricos formam um anel. O nome «inteiro algébrico» tem origem no facto de os únicos números racionais que são inteiros algébricos serem os números inteiros.

Números algébricos sobre um corpo[editar | editar código-fonte]

Sejam K e L corpos, K \subseteq L\, e \alpha \in L\,. Então, considerando-se todos os polinômios p(x) não-nulos com coeficientes em K, temos que:

\alpha\, é transcendente sobre K se \forall p(x), p(\alpha) \ne 0\,
\alpha\, é algébrico sobre K se \exists p(x), p(\alpha) = 0\,

Por exemplo, \pi\, é transcendente sobre \mathbb{Q}[\sqrt 2]\,, mas é algébrico sobre \mathbb{Q}[\pi^2]\, (porque é uma raiz de p(x) = x^2 - \pi^2\,).

Aproximação por números racionais[editar | editar código-fonte]

Todo número real (e os algébricos são reais) pode ser aproximado por números racionais. Uma observação aparentemente paradoxal é que os números algébricos são ruins de serem aproximados por números racionais, ou seja, ao se aproximar

 \alpha \approx \frac {p} {q}

o erro tende a ser grande quando comparado com o denominador q. Isso pode ser usado para mostrar que alguns números não são algébricos. Para maiores detalhes, ver artigo sobre Números de Liouville.