Número de Lelong

Em matemática, o número de Lelong é um invariante de um ponto de uma variedade analítica complexa que, em certo sentido, mede a densidade local naquele ponto. Foi introduzido por Lelong (1957). Mais geralmente, uma corrente positiva fechada (p,p) u em uma variedade complexa tem um número de Lelong n(u,x) para cada ponto x da variedade. Da mesma forma, uma função plurissubharmônica também possui um número de Lelong em um ponto.

Os números de Lelong são particularmente importantes para as chamadas funções plurissubharmônicas $\varphi$, indo como um fluxo de conjuntos $\Theta ={\tfrac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\varphi$, de modo que a curvatura da métrica singular $\varphi$ associada a $h=e^{-2\varphi }$ considerada.

Definições

O número de Lelong de uma função plurissubharmônica φ em um ponto x def Cⁿ é

$\liminf _{z\rightarrow x}{\frac {\phi (z)}{\log |z-x|}}.$

Para um ponto x de um subconjunto analítico A de dimensão k pura,o número Lelong ν(A,x) é o limite da razão entre as áreas de A ∩ B(r,x) e uma bola de raio r em C^k as the radius tends to zero. (Aqui B(r,x) é uma bola de raio r centrada em x.) Em outras palavras, o número de Lelong é uma espécie de medida da densidade local de A próximo a x. Se x não estiver na subvariedade A, o número de Lelong será 0, e se x for um ponto regular, o número de Lelong será 1. Pode-se provar que o número de Lelong ν(A,x) é sempre um número inteiro.

Também se $\Theta$ for uma corrente positiva fechada com bidimensionalidade $(p,p)$ em um ambiente coordenado $\Omega =\mathbb {C} ^{n}$. Definimos o funcional

$\sigma _{\Theta }=\Theta \wedge {\tfrac {1}{p!}}({\tfrac {\pi }{i}}\partial {\overline {\partial }}|z|^{2})^{p}$

onde $\wedge$ denota o mínimo.

Em seguida, define-se o número de Lelong $\Theta$ em pontos $x\in \Omega$ como o valor

$\nu (\Theta ,x):=\lim _{r\to 0^{+}}\nu (\Theta ,x,r):=\lim _{r\to 0^{+}}{\frac {\sigma _{\Theta }(B(x,r))}{\pi ^{p}r^{2p}/p!}}$.

com $E_{c}(\Theta ):=\{x\in X\mid \nu (\Theta ,x)\geq c\}$ é o conjunto de nível de $\Theta$ definido para o nível $c\in [0,\infty ]$.

Ver também

• Teoria dos invariantes