Número de Perrin

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Em matemática os números de Perrin são definidos pela relação de recorrência

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) para n > 2,

com valores iniciais

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2.

A sequência dos números de Perrin começa com

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (sequência A001608 na OEIS)

O número de diferentes conjuntos independentes máximos em um n-vértice grafo ciclo é contado pelo n-ésimo número de Perrin para n > 1.[1]

História[editar | editar código-fonte]

Esta sequência foi mencionada implicitamente por Édouard Lucas (1876). Em 1899 e mesma sequência foi mencionada explicitamente por François Olivier Raoul Perrin.[2] O mais extensivo tratamento desta sequência foi dado por Adams e Shanks (1982).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Função geratriz[editar | editar código-fonte]

A função geratriz da sequência de Perrin é

Fórmula matricial[editar | editar código-fonte]

Fórmula tipo Binet[editar | editar código-fonte]

Espiral de triângulos equilaterais com comprimentos de lado que seguem a sequência de Perrin.

Os números da sequência de Perrin podem ser escritos em termos das potências das raízes da equação

esta equação tem 3 rraízes; uma raiz real p (conhecida como número plástico) e duas raízes complexas conjugadas q e r. dadas estas três raízes, a sequência de Perrin análoga à fórmula de Binet da sequência de Lucas é

Como as magnitudes das raízes complexas q e r são ambas menores que 1, as potências destas raízes convergem para 0 para n grande, e a fórmula se reduz a

esta fórmula pode ser usada para calcular rapidamente valores da sequência de Perrin para n grande. A razão de termos sucessivos na sequência de Perrin se aproxima de p, também conhecido como número plástico, que tem um valor de aproximadamente 1,324718. esta constante tem a mesma relação com a sequência de Perrin como acontece com a proporção áurea em relação à sequência de Lucas. Conexões similares também exestem entre p e a sequência de Padovan, entre a proporção áurea e os números de Fibonacci, e entre a proporção prateada e os números de Pell.

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]

  • Adams, William; Shanks, Daniel (1982). «Strong primality tests that are not sufficient». American Mathematical Society. Mathematics of Computation. 39 (159): 255–300. JSTOR 2007637. MR 0658231. doi:10.2307/2007637 
  • Lucas, E. (1878). «Théorie des fonctions numériques simplement périodiques». The Johns Hopkins University Press. American Journal of Mathematics. 1 (3): 197–240. JSTOR 2369311. doi:10.2307/2369311 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]