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Número esfênico

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Um número esfênico (do grego antigo σφήνα) é um número inteiro positivo que é o produto de três fatores primos distintos. A função de Möbius retorna -1 para todo número esfênico. [1]

Note que essa definição é mais restringente que se exigisse simplesmente que o inteiro tivesse exatamente três fatores primos; exemplo: 60 = 2² × 3 × 5 tem exatamente 3 fatores primos, mas não é esfênico.

Todos os números esfênicos têm exatamente oito divisores. Se o número esfênico for expresso como , então seus divisores serão (possivelmente não ordenados):

Os primeiros números esfênicos são: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, ... (sequência A007304 na OEIS)

Números esfênicos consecutivos

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O menor par de números consecutivos esfênicos é (230, 231), uma vez que 230 = 2×5×23 e 231 = 3×7×11. A menor tripla de números consecutivos esfênicos é (1309, 1310, 1311), já que 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131, e 1311 = 3×19×23. Não existe uma sequência de números esfênicos consecutivos com mais de 3 elementos. Em outras palavras, para cada n-upla (lê-se ênupla) :

  • podem ser esfênicos se e somente se ou ;
  • não são esfênicos

As primeiras triplas de números esfênicos são:

(1309, 1310, 1311), (1885, 1886, 1887), (2014, 2015, 2016), (2665, 2666, 2667), ... (sequência A165936 na OEIS)

Maior número esfênico conhecido

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Uma vez que existem infinitos números primos, também existem infinitos números esfênicos.

O maior número esfênico conhecido é [2]

(274.207.281 − 1) × (257.885.161 − 1) × (243.112.609 − 1).

Produto dos três maiores números primos conhecidos. Foi definido em janeiro de 2016.

Divisão entre números consecutivos

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar


Caso 1 -

Sejam dois números consecutivos com e de paridade par.

A divisão e a outra divisão

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números, com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No nosso sistema decimal a decomposição única do número é , então a fração só não será uma dizima infinita quando pois é um número de paridade impar.

A fração só não será uma dizima infinita quando onde .

A expressão termina sempre no número exceto para .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número tem que terminar em exceto para o primeiro caso onde , e o número , terá que ser da forma onde a expressão não será uma dizima infinita.

Como os números da forma com o algarismo na última posição são sempre terminados em , jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo e com a propriedade de serem da forma .

Esta divisão é aplicada na solução para o Ultimo Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal.

Caso 2

Sejam dois números consecutivos com e de paridade impar.

A divisão e a outra divisão

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No nosso sistema decimal a composição única do número é , então a fração só não será uma dizima infinita quando .

A fração só não será uma dizima infinita quando

A expressão termina sempre no número exceto para .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número tem que terminar em , exceto para o primeiro caso onde , e o número terá que ser da forma , onde a expressão não será uma dizima infinita. O valor de só termina em , para e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em é da forma ., impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em que sejam da forma .


Ligações externas

da On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, em inglês.

«Números esfênicos» 

Referências

  1. Emma Lehmer, "On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial", Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936), nº 6, pág. 389–392.[1].
  2. http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3


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