Número triangular

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Os primeiros seis números triangulares.

Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de um triângulo equilátero. O n-ésimo número triangular pode ser visto como o número de pontos de uma forma triangular com lado formado por n pontos, o que equivale à soma dos primeiros n números naturais.

A sequência dos números triangulares (sequência A000217 na OEIS), começando pelo 0-ésimo termo, é:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

Tal conceito é utilizado de maneira mais generalizada em progressões aritméticas.

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Em geral, o n-ésimo número triangular é dado por:

A primeira equação pode ser demonstrada por uma prova visual.[1] Para cada número triangular ,imagine um arranjo de objetos correspondente ao número triangular e que forme metade de um quadrado, como na figura ao lado.

Exemplo de arranjo de objetos formando metade de um quadrado.

Ao se criar uma cópia esse arranjo e juntá-la ao original, forma-se uma figura retangular com o dobro de objetos e de dimensões , que também é o número de objetos na figura. Evidentemente, o número triangular sempre equivalerá à metade do número de objetos do retângulo, ou seja:

Segue o exemplo para :

(soma dos pontos amarelos e verdes) implica em

Retângulo formado pelo quarto número triangular (soma dos pontos verdes) e sua cópia.

A primeira equação também pode ser demonstrada usando-se o princípio da indução.[2] Primeiro, verifica-se a validade da equação para n = 1:

Depois, assumindo a veracidade da hipótese para n = (n-1), verifica-se a validez para n = n para a confirmação a tese.

É dito que Carl Friedrich Gauss encontrou essa relação em sua juventude.[3][4] Independentemente da veracidade da história, Gauss não foi o primeiro a lidar com números triangulares; alguns pensam que seus estudos remontam à época dos pitagóricos no século 5 A.E.C a partir de seus estudos com números figurados.[5]

Relação com outros números figurados[editar | editar código-fonte]

Os números triangulares tem uma variedade de relações com os número figurados.

  • De forma simples, a soma de dois números triangulares consecutivos resulta em um número quadrado:

Alternativamente, o mesmo fato pode ser demonstrado visualmente:

6 + 10 = 16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg 10 + 15 = 25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

Um quadrado cujo lado é um número triangular pode ser dividido em quadrados e meios-quadrados cujas áreas formam cubos. Isso prova que o quadrado do n-ésimo número triangular é igual à soma dos primeiros n cubos.
  • Existem infinitos números que são concomitantemente triangulares e quadrados, como, por exemplo, 1, 36, 1225. Alguns deles podem ser obtidos de forma recursiva a partir de:

com

  • Todos os números que são triangulares e quadrados podem ser encontrados através da forma recursiva:

com e

  • Além disso, o quadrado do n-ésimo número triangular é a soma dos cubos dos inteiros 1 a n. Isso pode ser expressado como:

  • A soma dos primeiros n números triangulares é o n-ésimo número tetraédrico, que tem como fórmula:

  • De modo mais geral, a diferença entre o n-ésimo número poligonal e o n-ésimo número poligonal resulta no (n-1)-ésimo número triangular.

Por exemplo, o sexto número heptagonal (81) menos o sexto número hexagonal (66) resulta no quinto número triangular (15) - partindo do ponto de que o primeiro número triangular é 1.

  • Conhecendo os números triangulares, é possível contar qualquer número poligonal centrado; o n-ésimo número k-gonal é obtido pela fórmula:

,sendo um número triangular.

  • Outra relação com números figurados é: a diferença entre dois números triangulares é um número trapezoidal.

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Números triangulares alternantes (1, 6, 15, 28, ...) são números hexagonais.
  • Todo número perfeito é triangular (e também hexagonal) e pode ser obtido pela fórmula:

, onde p é um primo de Mersenne. Não se conhece nenhum número ímpar perfeito, portanto todos os números perfeitos pares são triangulares.

  • Na base 10, a raiz digital de um número triangular é sempre 1, 3, 6 ou 9. Consequentemente todo número triangular ou é divisível por 3 ou tem resto 1 quando divido por 9.

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

Se um número triangular não é divisível por 3, existe uma propriedade mais específica que mostra que ao ser divido por 27, este número terá resto 1, ou ao ser divido por 81, este número terá resto 10.

  • O padrão que a raiz digital dos números triangulares obedece se repete a cada nove termos, como foi mostrado acima: "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

O contrário da primeira afirmação nem sempre é verdadeiro. O número 12, por exemplo, não é triangular, mas é divisível por 3 e tem raiz digital 3.

  • Se x é um número triangular, então ax + b também é triangular, sendo a um número quadrado ímpar e sendo b = a − 18, b sempre será um número triangular, pois , o que implica que todos os quadrados ímpares são revelados pela multiplicação de um número triangular por 8, adicionando-se 1.

Os primeiros pares dessa forma (excetuando-se 1x + 0) são: 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21, ...etc. Dado

x = , essas fórmulas geram T3n + 1, T5n + 2, T7n + 3, T9n + 4, e assim por diante.

  • A soma dos recíprocos de todos números triangulares diferentes de zero é:

Isso pode ser mostrado pela soma de uma série telescópica:

  • Outras duas fórmulas relativas aos números triangulares são:

e

que podem ser estabelecidas ao se observar um padrão de pontos (ver acima) ou algebricamente.

  • Em 1796, o matemática alemão, Carl Friedrich Gauss, descobriu que todo inteiro positivo pode ser representado pela soma de três números triangulares (possivelmente incluindo T0 = 0), escrevendo em seu diário sua famosas famosas palavras "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Perceba que o teorema não implica que os números sejam diferentes ou que a solução com três números diferentes de zero deva existir. Esse é um caso do teorema do número poligonal de Fermat.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O número triangular resolve o problema do aperto de mão, que pergunta o número de apertos de mão em uma sala com n + 1 pessoas, sendo que cada pessoa cumprimenta outra apenas uma vez.

Um modo de se calcular a depreciação de um ativo é o método da soma dos algarismos dos anos, que envolve encontrar Tn , sendo n os anos de vida útil do ativo. Cada ano o item perde (bs) × nyTn , onde b é o valor inicial do item, s é o valor de salvamento final, n a vida útil do item, e y o ano na tabela de depreciação.Usando este método, um item com n = 4 anos irá perder do seu valor "perdível" no primeiro ano, no segundo, no ano seguinte e no último ano, totalizando uma depreciação total de do seu valor perdível.

Raízes triangulares e teste de identificação[editar | editar código-fonte]

Por analogia à raiz quadrada de x, é possível definir a raiz triangular positiva de x desde que este seja um número triangular

que deriva do algoritmo de resolução de equações quadráticas. Logo, um inteiro x é triangular se e somente se 8x + 1 for um quadrado. De modo equivalente, se a raiz triangular positiva n de x for um número inteiro, então x é o n-ésimo número triangular.

Ver também[editar | editar código-fonte]

O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Número triangular

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. «Triangular Number Sequence» 
  2. «An Introduction to Mathematical Induction: The Sum of the First n Natural Numbers, Squares and Cubes. - UCR Math Wiki». Consultado em 26 de agosto de 2018. 
  3. «Curiosidades matemáticas - Gauss». Consultado em 26 de agosto de 2018. 
  4. «GENIAL - GAUSS - GÖTTINGEN». Consultado em 26 de agosto de 2018. 
  5. Eves, Howard. «Página da web cita "AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS"». Mathcentral. Consultado em 26 de agosto de 2018. 
  6. «Triangular numbers in geometric progression» (PDF). Chen, Fang. 12 de abril de 2007. Consultado em 27 de agosto de 2018. 
  7. Fang, Jin-Hui (20 de dezembro de 2007). «None existence of a geometric progression that countains four triangular numbers» (PDF). Consultado em 27 de agosto de 2018. 
  8. Liu, Zhi-Guo (1 de dezembro de 2003). «An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers». The Ramanujan Journal. Consultado em 27 de agosto de 2018. 
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