Números congruentes

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Triângulo com a área 6, um número congruente.

Em matemática, um número côngruo é um inteiro positivo que pode ser representado pela área de um triângulo retângulo, cujos lados são números racionais. Uma definição mais geral inclui todos os números racionais com essa propriedade. Esses números são uma generalização do problema dos côngruos.

A sequência dos números inteiros congruentes começa com: 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, …

Tabela numérica congruente: n ≤ 120
(OEIS:A003273)
—: Numero non congruente
C: número congruente sem quadrado
Q: Número congruente com fator quadrado
n 1 2 3 4 5 6 7 8
C C C
n 9 10 11 12 13 14 15 16
C C C
n 17 18 19 20 21 22 23 24
Q C C C Q
n 25 26 27 28 29 30 31 32
Q C C C
n 33 34 35 36 37 38 39 40
C C C C
n 41 42 43 44 45 46 47 48
C Q C C
n 49 50 51 52 53 54 55 56
Q C Q C Q
n 57 58 59 60 61 62 63 64
Q C C Q
n 65 66 67 68 69 70 71 72
C C C C
n 73 74 75 76 77 78 79 80
C C C Q
n 81 82 83 84 85 86 87 88
Q C C C Q
n 89 90 91 92 93 94 95 96
Q C C C Q
n 97 98 99 100 101 102 103 104
C C C
n 105 106 107 108 109 110 111 112
C C C Q
n 113 114 115 116 117 118 119 120
Q Q C C Q

Por exemplo, 5 é um número congruente porque equivale a área de um triângulo de lados (20/3, 3/2, 41/6). Similarmente, 6 é um número congruente pois representa a área de um triângulo de lados (3, 4, 5). Enquanto que 3 não é um número congruente por não estar dentro dessas especificações.

Se q é um número congruente então s2q também é um número congruente para qualquer número racional s (apenas multiplicando cada lado do triângulo por s). Isso leva a constatação de que se um número racional q, diferente de zero, é um número congruente, isso depende apenas de seus resíduos no grupo: .

Cada classe nesse grupo contém exatamente um quadrado livre inteiro, é comum, portanto, apenas considerar quadrados livres positivos e inteiros quando se fala sobre números congruentes.

Equação para obtenção dos números congruentes

A partir das equações para obtenção dos ternos pitagóricos por Geometria Algébrica, onde temos para o cateto menor a equação: e para o cateto maior ou temos que a área de qualquer triângulo retângulo será dada por que podemos escrever

que também podemos escrever

Então se expressarmos os parâmetros , por números racionais ou inteiros, se o resultado numérico da equação for um número inteiro, este número será um número congruente.

Exemplos: para teremos logo é congruente

para teremos logo é congruente..


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