Números de Liouville

Em teoria dos números, um número real $x\,$ é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo $n\,$, existirem inteiros $p\,$ e $q\,$ tais que:

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}},~~q>1\,$

Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.

Propriedades

• Sabe-se que todo número de Liouville é um número transcendente. A recíproca, no entanto, é falsa. Existem números transcendentes (como e e pi) que não são de Liouville.
• O conjunto dos números de Liouville é um conjunto de medida zero na reta.
• O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto de primeira categoria na reta.

Irracionalidade dos números de Liouville

É relativamente fácil provar que um número $x\,$ de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:

Suponha $x={\frac {c}{d}}\,$ e escolha um inteiro positivo $n\,$ tal que $2^{n-1}>d\,$. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros $p\,$ e $q\,$ tais que:

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\,$.

A primeira desigualdade prova que ${\frac {p}{q}}\neq {\frac {c}{d}}\,$ o que equivale a dizer que $|cq-pd|\geq 1\,$, então:

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-pd}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,$

o que é uma contradição.

A constante de Liouville

A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:

$L=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}\,$

A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo $n\,$ e defina:

$p=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},~~~q=10^{n!}\,$

Temos então:

$\left|L-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=\sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+j+1)!}\leq \sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+1)!-j}=10^{-(n+1)!}\sum _{j=0}^{\infty }10^{-j}<10^{-n!n}={\frac {1}{q^{n}}}\,$

Como $L\neq {\frac {p}{q}}\,$, a primeira desigualdade é trivial e temos que $L\,$ é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.

Transcendência dos números de Liouville

A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.

Lema : Se $\alpha \,$ é um número irracional raiz de um polinômio $f\,$ de grau $n\,$ positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real $A\,$ positivo tal que, para toda escolha de inteiros $p\,$, $q>0\,$, vale:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}\,$.

Demonstração do lema

Seja M, o valor máximo de $|f'(x)|\,$ no intervalo $[\alpha -1,\alpha +1]\,$. Sejam $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}\,$ as raízes distintas de $f\,$ que diferem de $\alpha \,$. Fixe $A>0\,$ satisfazendo:

$A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,$

agora, suponha que existam inteiros $p\,$ e $q\,$ contradizendo o lema:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,$

então ${\frac {p}{q}}\in [\alpha -1,\alpha +1]\,$ e ${\frac {p}{q}}\notin \{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}\}\,$, e como $\alpha \,$ é irracional, ${\frac {p}{q}}\neq \alpha \,$ então ${\frac {p}{q}}\,$ não é raiz de $f\,$.

Pelo teorema do valor médio, há um $x_{0}\,$ entre ${\frac {p}{q}}\,$ e $\alpha \,$ tal que

$f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)f'(x_{0}),$

Uma vez que $\alpha \,$ é raiz de $f\,$' mas ${\frac {p}{q}}\,$ não é, é fácil ver que $f'(x_{0})\neq 0\,$ e, conseqüentemente, $|f'(x_{0})|>0\,$ e, portanto :

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\,$

$f\,$ é, então da forma $\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,$ com cada $c_{i}\,$ inteiro; logo podemos expressar $\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\,$ como:

$\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,$

Como ${\frac {p}{q}}\,$ não é raiz de $f\,$, o número inteiro $\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\neq 0\,$ e, portanto, temos:

$\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,$

Posto que $|f'(x_{0})|\leq M\,$ pela definição de $M\,$, e ${\frac {1}{M}}>A\,$ pela definição de $A\,$, temos:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\,$

O que é uma contradição e demonstra o lema.

Demonstração de todo número de Liouville é transcendente

Seja $x\,$ um número de Liouville, já mostramos que $x\,$ é irracional. Se $x\,$ for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro $n\,$ e um certo inteiro real positivo $A\,$ tal que para todos os pares $p\,$ e $q\,$, vale:

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}\,$.

Fixe $r\,$ um inteiro positivo tal que ${\frac {1}{(2^{r})}}\leq A\,$. Define $m=r+n\,$. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros $a\,$ e $b>1\,$ tais que:

$\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{(b^{r}b^{n})}}\leq {\frac {1}{(2^{r}b^{n})}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}\,$

uma contradição que demonstra o teorema.

O conjunto dos números de Liouville tem medida zero

Um resultado interessante é que o conjunto $\mathbb {L} \,$ formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.

Para mostrar isto, basta verificar que para todo $m\,$ inteiro positivo, vale:

$\mu ^{*}(\mathbb {L} \cap (-m,m))=0\,$

onde $\mu ^{*}$ é a medida exterior de Lebesgue na reta.

Pela definição de número de Liouville, temos que se $x\in \mathbb {L} \,$ e $n\,$ é um inteiro positivo, então existem $p\,$, $q\,$ tais que:

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}},~~q\geq 2\,$.

em outras palavras:

$x\in \left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\,$.

com ${\frac {p}{q}}\in \left(x-{\frac {1}{q^{n}}},x+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\subseteq \left(-m-{\frac {1}{q^{n}}},m+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\,$

ou, ainda: $p\in \left(-mq-{\frac {1}{q^{n-1}}},mq+{\frac {1}{q^{n-1}}}\right)\,$ Como $p\,$ é inteiro e ${\frac {1}{q^{n-1}}}\leq 1\,$, podemos escrever $p\in \left(-mq,mq\right)\,$.

logo:

$x\in \bigcup _{q=2}^{\infty }\bigcup _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\,$.

e, portanto:

$\mathbb {L} \cap (-m,m)\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }\bigcup _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right),~~\forall n=1,2,3,\ldots \,$.

Uma vez que $\left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}$, podemos estimar:

$\mu ^{*}\left(\mathbb {L} \cap (-m,m)\right)\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}},~~\forall n>2\,$

Do fato que $\lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0$, temos que $\mathbb {L} \cap (-m,m)\,$ tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.

O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto magro

Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.

Para cada $n\,$ inteiro positivo defina:

$U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)$.

Os conjuntos $U_{n}\,$ são abertos e densos na reta real ${\mathbb {R} }$, pois é um conjuto aberto que contém os racionais. Mais ainda, $L=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}\setminus {\mathbb {Q} }$ e disto segue que $L\,$ é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.