Em teoria dos números, um número real
é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo
, existirem inteiros
e
tais que:

Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.
É relativamente fácil provar que um número
de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:
Suponha
e escolha um inteiro positivo
tal que
. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros
e
tais que:
.
A primeira desigualdade prova que
o que equivale a dizer que
, então:

o que é uma contradição.
A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:

A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo
e defina:

Temos então:

Como
, a primeira desigualdade é trivial e temos que
é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.
A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.
Lema : Se
é um número irracional raiz de um polinômio
de grau
positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real
positivo tal que, para toda escolha de inteiros
,
, vale:
.
Seja M, o valor máximo de
no intervalo
. Sejam
as raízes distintas de
que diferem de
. Fixe
satisfazendo:

agora, suponha que existam inteiros
e
contradizendo o lema:

então
e
, e como
é irracional,
então
não é raiz de
.
Pelo teorema do valor médio, há um
entre
e
tal que

Uma vez que
é raiz de
' mas
não é, é fácil ver que
e, conseqüentemente,
e, portanto :

é, então da forma
com cada
inteiro; logo podemos expressar
como:

Como
não é raiz de
, o número inteiro
e, portanto, temos:

Posto que
pela definição de
, e
pela definição de
, temos:

O que é uma contradição e demonstra o lema.
Demonstração de todo número de Liouville é transcendente[editar | editar código-fonte]
Seja
um número de Liouville, já mostramos que
é irracional. Se
for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro
e um certo inteiro real positivo
tal que para todos os pares
e
, vale:
.
Fixe
um inteiro positivo tal que
. Define
. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros
e
tais que:

uma contradição que demonstra o teorema.
O conjunto dos números de Liouville tem medida zero[editar | editar código-fonte]
Um resultado interessante é que o conjunto
formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.
Para mostrar isto, basta verificar que para todo
inteiro positivo, vale:

onde
é a medida exterior de Lebesgue na reta.
Pela definição de número de Liouville, temos que se
e
é um inteiro positivo, então existem
,
tais que:
.
em outras palavras:
.
com
ou, ainda:
Como
é inteiro e
, podemos escrever
.
logo:
.
e, portanto:
.
Uma vez que
, podemos estimar:

Do fato que
, temos que
tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.
O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto magro[editar | editar código-fonte]
Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.
Para cada
inteiro positivo defina:
.
Os conjuntos
são abertos e densos na reta real
, pois é um conjuto aberto que contém os racionais.
Mais ainda,
e disto segue que
é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.
Referências