Números de Liouville

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Em teoria dos números, um número real é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo , existirem inteiros e tais que:

Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Irracionalidade dos números de Liouville[editar | editar código-fonte]

É relativamente fácil provar que um número de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:

Suponha e escolha um inteiro positivo tal que . Pela definição de número de Liouville, existem inteiros e tais que:

.

A primeira desigualdade prova que o que equivale a dizer que , então:

o que é uma contradição.

A constante de Liouville[editar | editar código-fonte]

A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:

A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo e defina:

Temos então:

Como , a primeira desigualdade é trivial e temos que é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.

Transcendência dos números de Liouville[editar | editar código-fonte]

A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.

Lema : Se é um número irracional raiz de um polinômio de grau positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real positivo tal que, para toda escolha de inteiros , , vale:

.

Demonstração do lema[editar | editar código-fonte]

Seja M, o valor máximo de no intervalo . Sejam as raízes distintas de que diferem de . Fixe satisfazendo:

agora, suponha que existam inteiros e contradizendo o lema:

então e , e como é irracional, então não é raiz de .

Pelo teorema do valor médio, há um entre e tal que

Uma vez que é raiz de ' mas não é, é fácil ver que e, conseqüentemente, e, portanto :

é, então da forma com cada inteiro; logo podemos expressar como:

Como não é raiz de , o número inteiro e, portanto, temos:

Posto que pela definição de , e pela definição de , temos:

O que é uma contradição e demonstra o lema.

Demonstração de todo número de Liouville é transcendente[editar | editar código-fonte]

Seja um número de Liouville, já mostramos que é irracional. Se for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro e um certo inteiro real positivo tal que para todos os pares e , vale:

.

Fixe um inteiro positivo tal que . Define . Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros e tais que:

uma contradição que demonstra o teorema.

O conjunto dos números de Liouville tem medida zero[editar | editar código-fonte]

Um resultado interessante é que o conjunto formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.

Para mostrar isto, basta verificar que para todo inteiro positivo, vale:

onde é a medida exterior de Lebesgue na reta.

Pela definição de número de Liouville, temos que se e é um inteiro positivo, então existem , tais que:

.

em outras palavras:

.

com

ou, ainda: Como é inteiro e , podemos escrever .

logo:

.

e, portanto:

.

Uma vez que , podemos estimar:

Do fato que , temos que tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.

O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto magro[editar | editar código-fonte]

Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.

Para cada inteiro positivo defina:

.

Os conjuntos são abertos e densos na reta real , pois é um conjuto aberto que contém os racionais. Mais ainda, e disto segue que é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.