Operação justaposição

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Seja um espaço topológico, o conjunto de todos os caminhos contínuos de até , o conjunto de todos os caminhos contínuos de até e e dois caminhos em .

A operação justaposição entre caminhos de um espaço topológico,[1][2] denotada por , e definida por:

Onde denota o caminho justaposto:

Observe-se que a operação justaposição não é associativa. Com efeito, sejam:

Tem-se:

e

Notamos que os caminhos e são diferentes, porém, podemos mostrar que são homotópicos. De fato, basta considerar a homotopia:


Se considerarmos então como "equivalentes" dois caminhos homotópicos, teremos a associatividade da operação justaposição. A operação, agora entre classes de homotopia e , denotaremos por . Assim, quando consideramos o conjunto de todos os lacetes com ponto base em , a relação de equivalência como se, e só se é homotópico a e tomamos o quociente:

temos que este conjunto com a operação justaposição entre classes de homotopia é um grupo, o qual denotamos por:

e denominamo-lo por grupo fundamental.

Referências

  1. «A estrutura do grupo fundamental das superfícies compactas». Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência. Consultado em 4 de abril de 2019 
  2. Barboza, Diego Pereira (2014). «Sobre vetores de rotação no toro». Universidade Federal de Alagoas. Consultado em 4 de abril de 2019 
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