Operador compacto

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Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema se comporta como em dimensão finita.

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços de Banach e um operador linear. é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em é conjunto pré-compacto em , ou seja, se:

é compacto, para todo limitado.

Equivalentemente, é compacto se para toda seqüência limitada , existe uma subseqüência tal que é convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere , o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo e , o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

Considere, ainda, o operador linear como sendo a inclusão de em .

Se é uma seqüência limitada em , então formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta[editar | editar código-fonte]

Seja dois espaços de Banach, dizemos que está compactamente contido em e escrevemos se a função inclusão é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também[editar | editar código-fonte]