Operador de Fredholm

Um operador de Fredholm $T:X\to Y$ é, por definição, um operador linear limitado entre espaços de Banach $X$ e $Y$ tal que as dimensões de seu kernel e de seu cokernel são ambas finitas. Alguns autores incluem a hipótese de que sua imagem $Im(T)$ é fechada, porém, tal hipótese é redundante.

O conjunto de todos os operadores de Fredholm $T:X\to Y$ é denotado por $F(X,Y)$.

Cokernel

O cokernel de uma transformação linear $T:X\to Y$ entre espaços vetoriais $X$ e $Y$ é o espaço quociente $Y/Im(T)$.

Índice de um operador de Fredholm

Dados dois espaços de Banach $X$ e $Y$, a função índice é definida como

${\begin{aligned}ind:F(X,Y)&\longrightarrow \mathbb {Z} \\T&\longmapsto ind(T)=dim(ker(T))-dim(coker(T))\end{aligned}}$

Propriedades

Os operadores de Fredholm são precisamente aqueles que são invertíveis módulo operadores compactos. Isso é conhecido como Teorema de Atkinson.

Formalmente, dados $H_{1}$ e $H_{2}$ espaços de Hilbert. Um operador linear limitado $T:H_{1}\to H_{2}$ é um operador de Fredholm se, e somente se, existe um operador linear limitado $S:H_{2}\to H_{1}$ tal que

${\begin{aligned}Id_{H_{1}}-ST\ \ e\ \ Id_{H_{2}}-TS\end{aligned}}$

são operadores compactos em $H_{1}$ e $H_{2}$, respectivamente.

Sobre a composição de operadores de Fredholm, temos que dados $T:X\to Y$ e $V:Y\to Z$ operadores de Fredholm, a composta $V\circ T:X\to Z$ também é um operador de Fredholm e vale que

$ind(V\circ T)=ind(T)+ind(V)$.

Aplicações

O Teorema de Atiyah-Jänich, relacionado com a K-teoria.

Qualquer operador elíptico pode ser estendido para um operador de Fredholm.