Operador de Laplace-Beltrami

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Em geometria diferencial, o operador de Laplace pode ser generalizado para operares em funções definidas em superfícies no espaço euclidiano e mais em geral, em variedades Riemannianas e pseudo-Riemanniana. Este operador mais geral é conhecido pelo nome de operador de Laplace-Beltrami, em homenagem a Laplace e Beltrami. Como o Laplaciano, o operador de Laplace-Beltrami é definido como a divergência de gradiente, e um operador linear tendo funções em funções. O operador pode ser estendido para operar em tensores como o desvio da derivada covariante. Alternativamente, o operador pode ser generalizado para operar em formas diferenciais usando a derivada exterior[1] e de divergência. O operador resultante é chamado de operador de Laplace-de Rham (em homenagem a Georges de Rham).[2]

Operações[editar | editar código-fonte]

O operador de Laplace-Beltrami, como o Laplaciano, é a divergência[3] do gradiente[4]:

Uma fórmula explícita em coordenadas locais[5] é possível.

Suponha primeiro que M é uma variedade Riemanniana orientada. A orientação permite que se especifique uma forma de volume definida em M, dada em um sistema de coordenadas orientad xi por:

onde os dxi são as 1-formas[6] que formam a base dual[7] para os vetores de base[8].

e é o produto exterior[9]. Neste caso |g| := |det(gij)| é o valor absoluto da determinante do tensor métrico gij.

Referências

  1. Flanders, Harley. Differential forms with applications to the physical sciences. [S.l.]: Dover Publications, 1989. 20 p. 0-486-66169-5
  2. Alice Herrera de Figueiredo (2012). «O OPERADOR DE LAPLACE-BELTRAMI DISCRETO E APLICAÇÕES EM MALHAS» (PDF). PIBIC - Programa Institucional de Iniciação Científica do CNPq. Consultado em 28 de fev. de 2013  Verifique data em: |access-date= (ajuda)
  3. Martins, E. R. e Capelas de Oliveira, E.. Equações diferenciais, metodo de separação de variáveis e os sistemas de Stäckel. Campinas (SP): Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, 2006.
  4. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (1 de janeiro de 2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 23 de março de 2013 
  5. CLAY SHONKWILER (Primavera 2004). «GEOMETRY HW 9» (PDF). Consultado em 23 de março de 2013 
  6. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 57. ISBN 0-7167-0344-0 
  7. Leonid P. Lebedev. Michael J. Cloud &, Victor A. Eremeyev, Tensor Analysis With Applications to Mechanics., World Scientific, 2010, ISBN 9789814313124
  8. Tu, Loring W. (2010). «Vector fields». An Introduction to Manifolds. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3 
  9. R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1 
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