Operador de defasagem

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Em econometria de séries temporais, Operador de defasagem é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

O operador defasagem "L" é definido como sendo um operador linear tal que, para qualquer valor y_t, teremos1 :

\, L^i y_{t} = y_{t-i}\,, ou seja, L^i = \frac{y_{t-i}}{y_{t}}

onde L^i significa simplesmente a defasagem de y_t por "i" períodos.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As seguintes propriedades valem para os operadores defasagem1 :

  1. A defasagem de uma constante "c" é a constante: \, L c = c\,
  2. Distributiva:  \left(L^i + L^j\right) \cdot y_{t}=L^i y_{t}+ L^j y_{t}= y_{t-i}+y_{t-j}
  3. Associativa da multiplicação:  L^i \cdot L^j \cdot y_{t}=L^i \cdot \left ( L^j y_{t} \right) = L^i \cdot y_{t-j}=y_{t-i-j}

Utilidade[editar | editar código-fonte]

Os operadores defasagem permitem uma notação concisa para escrever equações a diferença1 .

Por exemplo, seja a equação de ordem "p"1 :

y_t=a_0+a_1 \cdot y_{t-1}+a_2 \cdot y_{t-2}+...+a_p \cdot y_{t-p}+\varepsilon_t

Colocando todos os termos y_{t-i} para o lado esquerdo da equação e os demais para o lado direito, temos:

y_t-a_1 \cdot y_{t-1}-a_2 \cdot y_{t-2}-...-a_p \cdot y_{t-p}=a_0+\varepsilon_t

Colocando y_t em evidência, temos:

\left [ 1-a_1 \frac{y_{t-1}}{y_{t}}-a_2\frac{y_{t-2}}{y_{t}}-...-a_p\frac{y_{t-p}}{y_{t}} \right]y_t=a_0+\varepsilon_t

Utilizando o operador defasagem, podemos escrever esta equação como:

\left [ 1-a_1L-a_2L^2-...-a_pL^p \right]y_t=a_0+\varepsilon_t

ou, de maneira ainda mais compacta,

A\left(L \right)y_t=a_0+B\left(L \right) \varepsilon_t,

onde A\left(L \right) pode ser visto como um polinômio do operador defasagem. A notação A\left(1 \right) é usada para denotar a soma dos coeficientes:

A\left(1 \right)=1-a_1-a_2-...-a_p

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d ENDERS, Walter. Applied Econometric Time Series. Second Edition. Wiley series in probability and statistics. ISBN 0-471-23065-0
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