Operador escada

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Em álgebra linear, e em suas aplicações em mecânica quântica, um operador escada (tais como os operadores elevador e abaixador[1] ) é um operador que aumenta ou diminui o autovalor de outro operador. Em mecânica quântica, o operador elevador é também é conhecido como operador de criação, enquanto o abaixador é chamado de operador de destruição ou aniquilação. Aplicações dos operadores escada podem ser vistas em mecânica quântica no oscilador harmônico quântico e no momento angular.

Propiedades gerais[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que os operadores \hat{X}\, e \hat{N}\, tenham uma relação de comutação que é proporcional ao operador \hat{X}\,

[\hat{N},\hat{X}] = c \hat{X}\,

sendo c\, um escalar. Se |n\rangle é um auto-estado de \hat N, ou seja,

\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle,

Em seguida, o operador \hat{X}\, atuará em |n\rangle, acrescentando assim, c ao auto-valor, isto é,

\hat N \hat X|n\rangle {}= (\hat X \hat N+[\hat N,\hat X])|n\rangle
{} = (\hat X \hat N + c\hat X)|n\rangle
{} = \hat X \hat N|n\rangle + c\hat X|n\rangle
{} = \hat Xn|n\rangle + c \hat X|n\rangle
{} = (n+c)\hat X|n\rangle .

Em outras palavras, se |n\rangle é um auto-estado de \hat{N} com auto-valor n, então \hat{X}|n\rangle é um auto-estado de \hat{N} com auto-valor n+c. O operador \hat{X} será um operador elevador para \hat{N} se c for real e positivo, e um operador abaixador para \hat{N} se c for real e negativo.

Se \hat{N} é um operador hermitiano, então c deve ser real, sendo que o operador adjunto de \hat{X} obedece a seguinte relação:

[\hat{N},\hat{X^\dagger}] = -c\hat{X^\dagger}.\quad

Em particular, se \hat{X} é um operador abaixador para \hat{N}, então \hat{X^\dagger} é um operador elevador para \hat{N}, e vice-versa.

Referências

  1. Barcelos Neto, João. Matemática para físicos com aplicações: vetores, tensores e spinores (em português). 1 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2010. Capítulo: 11. , 227 p. vol. 1. ISBN 978-85-7861-091-3