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Pentágono

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 Nota: Para outros significados, veja Pentágono (desambiguação).
Pentagon
Um pentágono cíclico
Tipopolígono convexo
Arestas e Vértices5
Símbolo de Schläfli{5} (se for equilátero)
Ângulo interno (graus)108° (se for equilátero)

Na geometria, um pentágono (do grego πέντε (pente) "cinco" + γωνία (gonia) "ângulos" [1]) é qualquer polígono com cinco lados. A soma dos ângulos internos em um polígono pentagonal é 540°.

Um pentágono pode ser simples ou autointerseccional. Um "pentágono regular" autointerseccional (ou "pentágono estrela") é chamado de pentagrama.

Pentágonos regulares

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Lado (), raio da circunferência circunscrita (), apótema (), altura (), diagonal ()

Um pentágono regular tem símbolo de Schläfli {5} e ângulos internos de 108°.

Um pentágono pentágono regular tem cinco linhas de simetria reflexiva e simetria rotacional de ordem 5 (através de 72°, 144°, 216° e 288°). As diagonais de um pentágono regular convexo estão na razão áurea em relação aos seus lados. Dado o comprimento do seu lado sua altura (distância de um lado ao vértice oposto), largura (distância entre dois pontos mais distantes, que é igual ao comprimento da diagonal ) e circunraio são dados por:

Área de um pentágono regular

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A área de um pentágono regular com comprimento lateral é dada por

Se o circunraio de um pentágono regular for dado, seu comprimento de aresta será encontrado pela expressão

e sua área é

Como a área do círculo circunscrito é o pentágono regular preenche aproximadamente 0,7568 de seu círculo circunscrito.


A área do pentágono regular A pode ser calculada em função do lato t

Sabendo-se que o proporção áurea é equivalente a , a área A pode ser expresso como

Derivação da fórmula da área

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A área de qualquer polígono regular é:

onde P é o perímetro do polígono e r é o apótema). Substituindo os valores do pentágono regular por P e r, obtém-se a fórmula

com o lado de comprimento t.

Semelhante a todo polígono convexo regular, o pentágono convexo regular tem um círculo inscrito. A apótema, que é o raio r do círculo inscrito, de um pentágono regular está relacionado ao comprimento do lado t por

Outra forma de calcular o raio r da circunferência inscrita do pentágono é

Sabendo-se que o proporção áurea é equivalente a , o raio r pode ser expresso como

Raio do círculo circunscrito

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Para calcular o raio R da circunferência inscrita do pentágono é

Utilizando-se a proporção áurea na fórmula acima, o raio R é equivalente a

Cordas do círculo circunscrito aos vértices

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Como todo polígono convexo regular, o pentágono convexo regular possui um círculo circunscrito. Para um pentágono regular com vértices sucessivos A, B, C, D, E, se P for qualquer ponto no círculo circunscrito entre os pontos B e C, então PA + PD = PB + PC + PE.

Ponto no plano

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Para um ponto arbitrário no plano de um pentágono regular com raio circunscrito , cujas distâncias ao centroide do pentágono regular e seus cinco vértices são e respectivamente, temos[2]

If are the distances from the vertices of a regular pentagon to any point on its circumcircle, then[2]

Construções geométricas

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O pentágono regular pode ser construído com régua e compasso, visto que 5 é um primo de Fermat. Diversos métodos são conhecidos para a construção de um pentágono regular. Alguns são discutidos a seguir.

Método de Richmond

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One method to construct a regular pentagon in a given circle is described by Richmond[3] e discutido mais detalhadamente em Polyhedra de Cromwell.[4]

O painel superior mostra a construção usada no método de Richmond para criar o lado do pentágono inscrito. O círculo que define o pentágono tem raio unitário. Seu centro está localizado no ponto "C" e um ponto médio "M" está marcado na metade de seu raio. https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagon Este ponto é unido à periferia verticalmente acima do centro no ponto "D". O ângulo "CMD" é bissetado, e a bissetriz intercepta o eixo vertical no ponto "Q". Uma reta horizontal que passa por "Q" intercepta o círculo no ponto "P", e a corda "PD" é o lado necessário do pentágono inscrito.

Para determinar o comprimento deste lado, os dois triângulos retângulos "DCM" e "QCM" são representados abaixo do círculo. Usando o teorema de Pitágoras e dois lados, a hipotenusa do triângulo maior é encontrada como . O lado h do triângulo menor é então encontrado usando a fórmula do ângulo metade:

onde o cosseno e o seno de ϕ são conhecidos a partir do triângulo maior. O resultado é:

Se DP for realmente o lado de um pentágono regular, , então DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos2(54°), e CQ = 1 − 2cos2(54°), que é igual a −cos(108°) pelo cosseno fórmula do ângulo duplo. Este é o cosseno de 72°, que é igual a como desejado.

Círculos de Carlyle

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Método usindo círculos de Carlyle

O círculo de Carlyle foi inventado como um método geométrico para encontrar as raízes de uma equação quadrática.[5] This methodology leads to a procedure for constructing a regular pentagon. The steps are as follows:[6]

  1. Desenhe um círculo no qual inscrever o pentágono e marque o ponto central O.
  2. Desenhe uma reta horizontal passando pelo centro do círculo. Marque a intersecção à esquerda com o círculo como ponto B.
  3. Construa uma reta vertical passando pelo centro. Marque uma intersecção com o círculo como ponto A.
  4. Construa o ponto M como ponto médio de O e B.
  5. Desenhe um círculo centrado em M passando pelo ponto A. Marque sua intersecção com a reta horizontal (dentro do círculo original) como ponto W e sua intersecção fora do círculo como ponto V.
  6. Desenhe um círculo de raio OA e centro W. Ele intercepta o círculo original em dois dos vértices do pentágono.
  7. Desenhe um círculo de raio OA e centro V. Ele intercepta o círculo original em dois dos vértices do pentágono.
  8. O quinto vértice é a intersecção mais à direita da reta horizontal com o círculo original.

Os passos 6 a 8 são equivalentes à versão a seguir, mostrada na animação:

6a. Construa o ponto F como o ponto médio de O e W.
7a. Construa uma reta vertical passando por F. Ela intercepta o círculo original em dois dos vértices do pentágono. O terceiro vértice é a intersecção mais à direita da reta horizontal com o círculo original.
8a. Construa os outros dois vértices usando o compasso e o comprimento do vértice encontrado no passo 7a.

Método de Euclides

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Método de Euclides para pentágono em um círculo dado, usando o triângulo áureo, animação de 1 min 39 s

Um pentágono regular é construível usando um compasso e régua, seja inscrevendo um em um círculo dado ou construindo um em uma aresta dada. Este processo foi descrito por Euclides em seus Elementos por volta de 300 a.C.[7][8]

Métodos de construção geométrica

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Dobradura de um nó de uma fita de papel
  • Um pentágono regular pode ser criado a partir de uma tira de papel, dando um nó simples na tira e achatando cuidadosamente o nó puxando as pontas da tira de papel. Dobrar uma das pontas sobre o pentágono revelará um pentagrama quando iluminado por trás. [9]
  • Construa um hexágono regular em papel cartão ou cartolina. Vinque ao longo dos três diâmetros entre os vértices opostos. Corte de um vértice ao centro para formar uma aba triangular equilátera. Fixe essa aba sob a vizinha para formar uma pirâmide pentagonal. A base da pirâmide é um pentágono regular.
Simetrias de um pentágono regular. Os vértices são coloridos de acordo com suas posições de simetria. Linhas espelhadas azuis são traçadas através dos vértices e arestas. As ordens de rotação são dadas no centro.

O "pentágono regular" tem simetria Dih5, ordem 10. Como 5 é um número primo, há um subgrupo com simetria diedral: Dih1, e 2 simetrias de grupo cíclico: Z5 e Z1.

Essas 4 simetrias podem ser vistas em 4 simetrias distintas no pentágono. John Conway os rotula por uma letra e ordem de grupo.[10] A simetria completa da forma regular é r10 e nenhuma simetria é rotulada como a1. As simetrias diedrais são divididas dependendo se passam por vértices (d para diagonais) ou arestas (p para perpendiculares), e i quando as linhas de reflexão passam por arestas e vértices. As simetrias cíclicas na coluna do meio são rotuladas como g para suas ordens de giração central.

Cada simetria de subgrupo permite um ou mais graus de liberdade para formas irregulares. Apenas o subgrupo g5 não possui graus de liberdade, mas pode ser visto como arestas direcionadas.

Pentagrama regular

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Um pentagrama ou pentágono é um pentágono regular estrela. Seu símbolo Schläfli é {5/2}. Seus lados formam as diagonais de um pentágono convexo regular – neste arranjo, os lados dos dois pentágonos estão na proporção áurea.

Pentágonos equiláteros

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Pentágono equilátero construído com quatro círculos iguais dispostos em cadeia.

Um pentágono equilátero é um polígono com cinco lados de igual comprimento. No entanto, seus cinco ângulos internos podem assumir uma série de conjuntos de valores, permitindo-lhe formar uma família de pentágonos. Em contraste, o pentágono regular apresenta similaridade única, pois é equilátero e equiangular (seus cinco ângulos são iguais).

Pentágonos cíclicos

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Um pentágono cíclico é aquele em que um círculo denominado circuncírculo passa por todos os cinco vértices. O pentágono regular é um exemplo de pentágono cíclico. A área de um pentágono cíclico, regular ou não, pode ser expressa como um quarto da raiz quadrada de uma das raízes de uma equação séptica cujos coeficientes são funções dos lados do pentágono.[11][12][13]

Existem pentágonos cíclicos com lados e áreas racionais; estes são chamados de pentágonos de Robbins. Foi provado que as diagonais de um pentágono de Robbins devem ser todas racionais ou todas irracionais, e conjectura-se que todas as diagonais devem ser racionais.[14]

Pentágonos convexos gerais

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Para todos os pentágonos convexos com lados e diagonais , a seguinte desigualdade é válida:[15]:p.75,#1854

.

Pentágonos em mosaico

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O agrupamento mais conhecido de pentágonos regulares de tamanhos iguais em um plano é uma estrutura de rede dupla que cobre 92,131% do plano.

Um pentágono regular não pode aparecer em nenhum mosaico de polígonos regulares. Primeiro, para provar que um pentágono não pode formar um ladrilho regular (em que todas as faces são congruentes, exigindo, portanto, que todos os polígonos sejam pentágonos), observe que 360° / 108° = 313 (onde 108° é o ângulo interno), que não é um número inteiro; portanto, não existe um número inteiro de pentágonos compartilhando um único vértice e sem lacunas entre eles. Mais difícil é provar que um pentágono não pode estar em nenhum mosaico de aresta a aresta formado por polígonos regulares:

A densidade de empacotamento máxima conhecida de um pentágono regular é (5 - 5)/3 ≤ 0,921, alcançada pelo empacotamento de rede dupla mostrado. Em uma pré-impressão publicada em 2016, Thomas Hales e Wöden Kusner anunciaram uma prova de que esse empacotamento de rede dupla do pentágono regular (conhecido como o projeto de rede chinesa "raio de gelo pentagonal", datado por volta de 1900) tem a densidade ótima entre todos os empacotamentos de pentágonos regulares no plano.[16]

Não há combinações de polígonos regulares com 4 ou mais polígonos que se encontram em um vértice e que contenham um pentágono. Para combinações com 3, se 3 polígonos se encontram em um vértice e um deles tem um número ímpar de lados, os outros 2 devem ser congruentes. A razão para isso é que os polígonos que tocam as arestas do pentágono devem se alternar em torno do pentágono, o que é impossível devido ao número ímpar de lados do pentágono. Para o pentágono, isso resulta em um polígono cujos ângulos são todos (360 − 108) / 2 = 126°. Para encontrar o número de lados que este polígono tem, o resultado é 360 / (180 − 126) = 623, que não é um número inteiro. Portanto, um pentágono não pode aparecer em nenhum mosaico feito por polígonos regulares.

Existem 15 classes de pentágonos que podem ladrilhar o plano monoédrico. Nenhum dos pentágonos possui simetria em geral, embora alguns apresentem casos especiais com simetria de espelho.

15 mosaicos monoédricos pentagonais
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15

Pentágonos em poliedros

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Ih Th Td O I D5d
Dodecaedro Piritoedro Tetartoide Icositetraedro pentagonal Hexacontaedro pentagonal Trapezoedro truncado

Pentágonos na natureza

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Outros exemplos

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Notas e referências

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  1. "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.
  2. a b Meskhishvili, Mamuka (2020). «Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids». Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340Acessível livremente. doi:10.26713/cma.v11i3.1420 (inativo 14 Dezembro 2024) 
  3. Richmond, Herbert W. (1893). «A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides». The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 26: 206–207 
  4. Peter R. Cromwell (22 Julho 1999). Polyhedra. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 63. ISBN 0-521-66405-5 
  5. Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd ed. [S.l.]: CRC Press. p. 329. ISBN 1-58488-347-2 
  6. DeTemple, Duane W. (Fevereiro 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions» (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97–108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Cópia arquivada (PDF) em 21 de dezembro de 2015 
  7. George Edward Martin (1998). Geometric constructions. [S.l.]: Springer. p. 6. ISBN 0-387-98276-0 
  8. Fitzpatrick, Richard (2008). Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (PDF). Traduzido por Richard Fitzpatrick. [S.l.]: Lulu.com. p. 119. ISBN 978-0-615-17984-1 
  9. Mathematical Models by H. Martyn Cundy and A.P. Rollett, second edition, 1961 (Oxford University Press), p. 57.
  10. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetria de um polígono pp. 275-278)
  11. Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]
  12. Robbins, D. P. (1994). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». Discrete and Computational Geometry. 12 (2): 223–236. doi:10.1007/bf02574377Acessível livremente 
  13. Robbins, D. P. (1995). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». The American Mathematical Monthly. 102 (6): 523–530. JSTOR 2974766. doi:10.2307/2974766 
  14. *Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), «Cyclic polygons with rational sides and area», Journal of Number Theory, 128 (1): 17–48, MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005Acessível livremente .
  15. Desigualdades propostas em“Crux Mathematicorum, [2].
  16. Hales, Thomas; Kusner, Wöden (Setembro 2016), Packings of regular pentagons in the plane, arXiv:1602.07220Acessível livremente 
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