Polígono convexo

Um polígono convexo é um polígono simples (sem interseções consigo mesmo) onde nenhum segmento de reta conectando dois pontos de seu perímetro passa por fora do polígono. Equivalentemente, é um polígono simples cujo interior é um conjunto convexo.^[1] Em um polígono convexo, todos os ângulos internos são menores ou iguais a 180 graus, enquanto que em um polígono estritamente convexo todos os ângulos interiores são estritamente menores do que 180 graus.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As seguintes propriedades de um polígono simples são todas equivalentes a convexidade:

Cada ângulo interno é igual ou inferior a 180 graus.
Cada ponto em cada segmento de reta entre dois pontos dentro ou no perímetro do polígono permanece dentro ou no perímetro.
O polígono é inteiramente contido em um semiplano definido por cada uma das suas arestas.
Para cada aresta, pontos interiores são todos do mesmo lado da linha que a contém.
O ângulo em cada vértice contém todos os outros vértices em suas arestas e interior.
O polígono é uma envoltória convexa de suas arestas.

Outras propriedades de polígonos convexos incluem:

A interseção de dois polígonos convexos é um polígono convexo.
Um polígono convexo pode ser triangulado em tempo linear em um leque de triângulos, que consiste na adição de diagonais desde um vértice até cada um dos outros vértices.
Teorema de Helly: para cada conjunto de pelo menos três polígonos convexos, se a interseção de cada grupo de três não for vazia, então todo o conjunto tem uma interseção não vazia.
Teorema de Krein–Millman: um polígono convexo é a envoltória convexa de seus vértices. Assim, é totalmente definido pelo conjunto de seus vértices, e só são necessários os cantos do polígono para recuperar toda a forma de polígono.
Teorema da separação do hiperplano: quaisquer dois polígonos convexos sem pontos em comum têm uma reta separadora. Se os polígonos são fechadas e pelo menos um deles é compacto, então existem até mesmo duas retas paralelas separadoras (com um espaço entre elas).
Propriedade do triângulo inscrito: de todos os triângulos contidos em um polígono convexo, existe um triângulo, com uma área máxima cujos vértices coincidem com vértices do polígono.^[2]
Inscrevendo em um triângulo: todo polígono convexo com área A pode ser inscrito em um triângulo de área, no máximo, igual a 2A. Igualdade é mantida (exclusivamente) para um paralelogramo.^[3]
Retângulos inscritos/inscrevendo retângulos: para cada corpo convexo C em um plano, podemos inscrever um retângulo r em C tal que uma cópia homotética R de r é circunscrita sobre C e a proporção homotética positiva é de, no máximo, 2 e $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$ .^[4]
A largura média de um polígono convexo é igual ao perímetro dividido por Pi. Assim, sua largura é o diâmetro de um círculo com o mesmo perímetro do polígono.^[5]
Todo polígono inscrito em um círculo (de tal forma que todos os vértices do polígono toquem o círculo), se não houver auto-intersecção, é convexo. No entanto, nem todo polígono convexo pode ser inscrito em um círculo.

Convexidade estrita[editar | editar código-fonte]

As seguintes propriedades de um polígono simples são todas equivalentes à convexidade estrita:

Cada ângulo interno é estritamente menor que 180 graus.
Cada segmento de reta entre dois pontos no interior, ou entre dois pontos no perímetro, mas não na mesma aresta, é estritamente interior ao polígono (exceto em suas extremidades, se elas estão nas arestas).
Para cada aresta, todos os pontos interiores e pontos em outras arestas que não estão contidos nela estão no mesmo lado da reta que a aresta define.
O ângulo em cada vértice contém todos os outros vértices em seu interior (exceto si mesmo e os dois vértices adjacentes).
Todo triângulo não degenerado é estritamente convexo.