Polinômio característico

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Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz ou de um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita com base é o polinômio:[1]

em que é o determinante e é a matriz identidade (ou o operador identidade). Este é um polinômio mônico de grau , ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é . Os autovalores de são as raízes de seu polinômio característico.[2]

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico mA(x) de menor grau tal que , .

Motivação[editar | editar código-fonte]

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular:

.

Para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A[3].

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja uma matriz de dimensão dada por:

Então, seu polinômio característico é:

onde, é o traço de .


Referências

  1. Flávio Ulhoa Coelho; Mary Lilian Louenço. Um Curso De Álgebra Linear. pag. 136
  2. Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622086. 
  3. SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas.Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 585.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

.

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