Polinômio de Lagrange

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Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto de k+1 pontos:

com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

Prova[editar | editar código-fonte]

Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com

O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.

Como podemos comprovar

  1. é um polinômio e tem grau k.

Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e

Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.

Ideia Principal[editar | editar código-fonte]

Polinômios de Lagrange[editar | editar código-fonte]

Como pudemos perceber, a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear. Além disso, vimos que a utilização do polinômio em base canônica leva a uma matriz de Vandermonde mal condicionada.

Afim de resolver este problema, o matemático Joseph-Louis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz. A ideia foi diagonalizá-la, obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta. Dados n pontos de abscissas , o polinômio interpolador de Lagrange ,Pn(x), será obtido através de uma base de polinômios de grau menor ou igual n, que satisfaçam as seguintes condições:

                                                      (1)

Observe que vamos obter uma série de k polinômios de tal modo que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos com exceção de um em que k=j, de forma que cada polinômio ajuste o valor em um ponto, sendo funções independentes entre si.




                                 


Assim, os polinômios de Lagrange podem ser descritos pela fórmula geral:



O Polinômio interpolador de Lagrange é dado pela combinação linear dos Lk(x) polinômios base:


                             


Aplicando a condição (1) temos:


                            


Na forma matricial:

   = 

Aplicando o polinômio interpolador de Lagrange obtemos uma matriz identidade bem condicionada em que o sistema linear é prontamente resolvido.

Interpretação geométrica[editar | editar código-fonte]

Dado o conjunto de pontos (2,1) (3,6) (4,4) e (5,5) desejamos construir um polinômio de Lagrange que passe por estes pontos.

Primeiro, construímos os Lk polinômios de Lagrange, perceba que somente um polinômio de Lagrange é não nulo em cada ponto. Depois construímos os Pn polinômios de Lagrange, observe que cada polinômio ajusta um ponto do conjunto, sendo igual ao valor da ordenada do ponto. E usando a fórmula geral construímos o polinômio P de Lagrange que passa por todos os pontos dados:


Representação dos Pn polinômios Lagrange[1]


Referências[editar | editar código-fonte]

1. Borche, Alejandro.Métodos numéricos. Rio Grande do Sul: Editora UFRGS,2008.Página 117. 2. Albrecht, Peter.Análise Numérica, um curso moderno. Rio de Janeiro: PUC-RJ, Livros técnicos e científicos S.A., 1973. Página 129. 3.Souto de Azevedo, Fábio.2013.[Aula sobre interpolação e ajuste].Páginas 1-15. 4. [Aproximações de funções].Páginas 68-78 5.Prof.Evaristo.2010.[Curso de Nivelamento ao M.S.C.qPEQ-2010].Páginas 1-42 6. F. Guide, Leonardo.[Lâminas de cálculo numérico].Páginas 1-57.


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Veja também[editar | editar código-fonte]