Polinômio de Lagrange

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Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto de k+1 pontos:

(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)

com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

L(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j l_j(x),

com polinômios da base de Lagrange dados por:

l_j(x) := \prod_{i=0, j\neq i}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}

Prova[editar | editar código-fonte]

Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com

L(x_j) = y_j \qquad j=0,\ldots,k

O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.

Como podemos comprovar

  1. \ell_j(x) é um polinômio e tem grau k.
  2. \ell_i(x_j) = \delta_{ij},\quad 0 \leq i,j \leq k.\,

Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e

L(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{ji} = y_i.

Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.

Ideia Principal[editar | editar código-fonte]

Polinômios de Lagrange[editar | editar código-fonte]

Como pudemos perceber, a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear. Além disso, vimos que a utilização do polinômio em base canônica leva a uma matriz de Vandermonde mal condicionada.

Afim de resolver este problema, o matemático Joseph-Louis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz. A ideia foi diagonalizá-la, obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta. Dados n pontos de abscissas (x_j)|_1^n , o polinômio interpolador de Lagrange ,Pn(x), será obtido através de uma base de polinômios de grau menor ou igual n, que satisfaçam as seguintes condições:

                                                       L_k(x_j)=\begin{Bmatrix} 1,k=j \\ 0,k\ne j \end{Bmatrix}(1)

Observe que vamos obter uma série de k polinômios de tal modo que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos com exceção de um em que k=j, de forma que cada polinômio ajuste o valor em um ponto, sendo funções independentes entre si.


 L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)^*...^*(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)^*...^*(x_0-x_n)}


 L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)^*...^*(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)^*...^*(x_1-x_n)}


 L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)^*...^*(x-x_n)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_0-x_3)^*...^*(x_2-x_n)}

                                  \vdots 

 L_n(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)^*...^*(x-x_{n-1})}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_3)^*...^*(x_n-x_{n-1})}


Assim, os polinômios de Lagrange podem ser descritos pela fórmula geral:


 L_k(x)= \prod_{1 \le j \ne k \le n} \frac {(x_-x_j)}{(x_k-x_j)}


O Polinômio interpolador de Lagrange é dado pela combinação linear dos Lk(x) polinômios base:

 P_0(x_0)=a_0 L_0(x_0) + a_1 L_1(x_0) +...+ a_n L_n(x_0)=y_0


 P_1(x_1)=a_0 L_0(x_1) + a_1 L_1(x_1) +...+ a_n L_n(x_1)=y_1

                              \vdots 

 P_n(x_n)=a_0 L_0(x_n) + a_1 L_1(x_n) +...+ a_n L_n(x_n)=y_n


Aplicando a condição (1) temos:

 P_0(x_0)=a_0^*1 + a_1^*0 +...+ a_n^*0=y_0=a_0


 P_1(x_1)=a_0^*0 + a_1^*1 +...+ a_n^*0=y_1=a_1

                             \vdots 

 P_n(x_n)=a_0^*0 + a_1^*0 +...+ a_n^*1=y_n=a_n


Na forma matricial:

\begin{bmatrix} 1 & 0\cdots & 0\\ 0 & 1\cdots & 0 \\\vdots & \vdots
\ddots & \vdots \\ 0 & 0 \cdots & 1\end{bmatrix}   \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\\vdots \\ a_n\end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\\vdots \\ y_n\end{bmatrix} 

Aplicando o polinômio interpolador de Lagrange obtemos uma matriz identidade bem condicionada em que o sistema linear é prontamente resolvido.

Interpretação geométrica[editar | editar código-fonte]

Dado o conjunto de pontos (2,1) (3,6) (4,4) e (5,5) desejamos construir um polinômio de Lagrange que passe por estes pontos.

Primeiro, construímos os Lk polinômios de Lagrange, perceba que somente um polinômio de Lagrange é não nulo em cada ponto. Depois construímos os Pn polinômios de Lagrange, observe que cada polinômio ajusta um ponto do conjunto, sendo igual ao valor da ordenada do ponto. E usando a fórmula geral construímos o polinômio P de Lagrange que passa por todos os pontos dados:


Representação dos Pn polinômios Lagrange


Referências[editar | editar código-fonte]

1. Borche, Alejandro.Métodos numéricos. Rio Grande do Sul: Editora UFRGS,2008.Página 117. 2. Albrecht, Peter.Análise Numérica, um curso moderno. Rio de Janeiro: PUC-RJ, Livros técnicos e científicos S.A., 1973. Página 129. 3.Souto de Azevedo, Fábio.2013.[Aula sobre interpolação e ajuste].Páginas 1-15. 4. [Aproximações de funções].Páginas 68-78 5.Prof.Evaristo.2010.[Curso de Nivelamento ao M.S.C.qPEQ-2010].Páginas 1-42 6. F. Guide, Leonardo.[Lâminas de cálculo numérico].Páginas 1-57.


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Veja também[editar | editar código-fonte]